线性概率模型

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考虑线性回归模型y_i=x_iβ+ε_i，其中y_i=1的概率为P_i，y_i=0的概率为1－P_i。

很清楚x_i解释了y_i=1或0的概率。让P_i=P(y_i=1 |x_i)=F(x_iβ)，1－P_i=P(y_i=0|x_i)=1－F(x_iβ)。易见E(y_i|x_i)=1×F(x_iβ)+0×(1－F(x_iβ))=F(x_iβ)。若F(x_iβ)=x_iβ，则称该线性回归模型为线性概率模型。

此时解释变量对被解释变量的边际影响为：

注意，该模型的随机干扰项ε_i的均值为零，E(ε_i)=(1－x_iβ)F(x_iβ)－(x_iβ)(1－F(x_iβ))=F(x_iβ)－x_iβ=0，Var(ε_i)=(1－x_iβ)²F(x_iβ)+(－x_iβ²)(1－F(x_iβ))=(1－X_iβ)(x_iβ)

给定N个独立观测值的样本，似然函数为

则对数似然函数为：

参数估计β就是最大化LL(β)的解，我们解一阶条件

最后，海赛(Hessian)矩阵#必须为负定。参数估计量的协方差阵为V#。