简单分式不等式的解法

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1．形如>0型

．

2．形如型

例1 解下列不等式

分析 (1)、(2)、(3)中可把1/2x—7，3—5x，3x—1看作一个整体．(4)由x—1=0，x+2=0可得x=1，x=—2，1和—2把数轴分成三段，每一段上决定了x—1和x+2的正负，由绝对值的定义去掉绝对值号即可．

解 (1)|1/2x—7|≤1等价于—1≤1/2x—7≤1，

解得12≤x≤16．

．．原不等式的解集为{x}12≤x≤16}．

(2)原不等式等价于3—5x<—2或3—5x>2，

解得x>1或x<1/5．

∴原不等式的解集为{x|x<1/5或x>1}．

(3)从形式上看与(1)、(2)有所不同，为使运算简便，令u=3x—1，则2<|u|≤4，此式等价于|u|≤4且|u|>2即—4≤u≤4且u<—2或u>2，解得—1≤x≤5/3且x<—1/3或x>1，如下图所示：

∴原不等式解集为

(4)原不等式等价于

解❶ 得x<—5/2；解❷ 得；解❸ 得x>3/2．

∴原不等式解集为{x|x<—5/2或x>3/2}．

例2 解下列不等式

(1)4x²—4x>15；

(2)4x≤1+4x²；

(3)—x²+x—1>0；

(4)02+x—2≤4．

解 对于(1)、(2)、(3)可直接利用二次不等式，二次函数关系求解．(4)可转化为不等式组求解．

(1)原不等式可化为4x²—4x—15>0

∵a=4>0，又方程4x²—4x—15=0的解是：

∴原不等式的解集是

(2)原不等式可化为4x²—4x+1≥0．

∵a=4>0，又方程有两等根x₁=x₂=1/2，

∴原不等式的解集为R．

(3)原不等式可化为x²—x+1<0．

∵a=1>0又△=1—4=—3<0，

∴原不等式的解集是．

(4)原不等式可能转化为不等式组．

解❶ 得x>1或x<—2

解❷ 得—3≤x≤2．

∴原不等式的解集为

{x|—3≤x<—2或1

例3 解关于x的不等式|3x—2|<2m1(m∈R)．

解 这里没有2m—1>0的条件，必须分类讨论：

(1)当2m—1≤0即m≤1/2时，原不等式恒不成立，

∴．

(2)当2m—1>0即m>1/2时，原不等式可化为—(2m—1)<3x—2<2m—1，解得．

综上所述，当m≤1/2时，原不等式的解集为，

当m>1/2时，原不等式的解集为：