等边三角形性质

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1．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．

2．等边三角形每个角的平分线和它对边的中线、对边上的高都重合，它们所在的直线都是正三角形的对称轴．

3．等边三角形三个角都相等．

例1 如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，连接AB₁、AC、B₁C，则△AB₁C的形状是＿＿三角形．

答 等边．

[解析] AB₁=B₁C=AC．

例2 如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个命题：
❶ ∠PBC=15°；
❷ AD∥BC；
❸ 直线PC与AB垂直；
❹ 四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数为( )．

A．1

B．2

C．3

D．4

答 D

[解析] ∵△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，

∴PB=PC，∠APB=∠ABP=∠BAP=∠DCP=∠DPC=∠CDP=60°．

∵∠APD=90°，

∴∠BPC=150°．

∴∠PBC=15°．

∴❶ 正确；

∵∠PAD=∠PDA=45°，

∴∠BAD=∠BAP+∠PAD=105°．

而∠ABC=∠ABP+∠PBC=75°，

∴∠BAD+∠ABC=180°

∴AD∥BC．

∴❷ 正确；

延长CP交AB于点E，

∵∠CBA+∠PCB=90°，

∴∠CEB=90°．

∴PC⊥AB．

∴❸ 正确；

∵AD∥BC，AB=CD，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

∴四边形ABCD是轴对称图形，

∴❹ 正确，共有四个命题正确．

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点C关于AB的对称点为C′，则△ACC′为＿＿三角形．

答 等边．

[解析] ∵C、C′关于AB对称，

∴AC=AC′．

又∵AB⊥CC′，

∴∠CAB=∠C′AB=30°．

∴∠CAC′=60°．

∴△ACC′为等边三角形．

(一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．

例4 下列说法错误是( )．

A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

B．对称轴最多的三角形是等边三角形

C．一个三角形的中线、高、角平分线都相等的三角形是等边三角形

D．一个三角形是轴对称图形，这个三角形必定是等边三角形

答 D．

[解析] 一个三角形是轴对称图形，这个三角形必定是等腰三角形．