等比数列的性质

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(1)若m+n=p+q，则a_m·a_n=a_p·aq．

(2)每隔k项(k∈N₊)取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．

(3)数列{a_n}为等比数列，则， ，…，，也成等比数列．

例1 在等比数列{a_n}中，已知a₃+a₆=36，a₄+a₇=18，a_n=1/2，求n．

解 设等比数列{a_n}的公比为q．

则n—4=5，即n=9．

评注 本题灵活地应用a_n=a_mq^n—m，使问题解得简单、明了、快捷．

例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求此四数．

分析 本题求四个数，设四个未知数，再去求解是可行的，为了减少消元的麻烦，也可以利用条件来减少未知数的个数．

解 前三个数依次为a—d，a，a+d，则第四个数为依题意

解此方程组，得a₁=4，d₁=4或a₂=9，d₂=—6

故所求四数为0，4，8，16，或15，9，3，1．

例3 等比数列{a_n}中，a₁+a_n=66，a₂a_n—1=128，前n项的和S_n=126，求n和公比q．

分析 利用等比数列的性质，建立a₁、a_n的方程组求出n与q．