程序编制中的数学处理

---

6．5．1 数学处理的内容

数学处理的内容包括：

❶ 基点和节点的计算。组成零件轮廓线的各个几何元素间的联接点称为基点，如两直线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与二次曲线的交点或切点等。按数控系统插补功能的要求，在满足允许程序编制误差的条件下，对零件轮廓曲线进行分割得到的各分割点称为节点，如用直线逼近零件轮廓时，相邻两直线的交点即为节点；用圆弧逼近零件轮廓时，相邻两圆弧的交点或切点即为节点。基点和节点数据是数控系统输入信息的原始数据。

❷ 刀具中心轨迹的计算。零件加工程序是用刀具上确定点(刀位点)的运动轨迹来描述的。刀位点也称为刀具中心。数控系统从对刀点开始控制刀具中心走出直线或圆弧，但所要求的零件轮廓是由刀具的切削部分加工出来的，所以需要进行刀具偏移计算。在有刀具偏移运算功能的数控系统中，程序编制中只要算出零件轮廓的基点和节点数据，给出有关刀具补偿指令和相应数据，数控系统便可算出刀具偏量，得到刀具中心轨迹。若数控系统不带有刀具偏移运算功能，则需算出与零件轮廓的基点和节点相对应的刀具中心轨迹上的基点和节点坐标值，得到刀具中心轨迹。

❸ 辅助程序段的数值计算。包括从对刀点到切入点(刀具开始与零件轮廓接触的点)的切入程序及切削完了返回到对刀点的返回程序所需数据的计算。对于增量坐标的数控系统，需要进行增量值的计算，如直线终点相对其起点的坐标增量计算，圆弧终点相对其起点的坐标增量的计算及圆弧圆心相对起点的坐标增量计算等。对于绝对坐标的数控系统，一般不进行增量值计算，直线终点、圆弧终点的坐标值都直接给出。但圆弧的起点仍用其相对圆心的坐标值给出，或圆心相对圆弧起点的坐标值给出。

此外，还有脉冲数计算。这是指将数值计算得到的毫米数(线位移)或度数(角位移)换算为脉冲数的计算。

6．5．2 直线、圆弧轮廓零件的数值计算

直线、圆弧轮廓零件数值计算中的一项主要内容，是基点的计算。这类零件基点的形成归纳起来有以下五种方式：直线与直线相交；直线与圆弧相交；直线与圆弧相切；圆弧与圆弧相交；圆弧与圆弧相切。直线和圆弧的标准方程分别为：

Ax+By+C=0

(x－ξ)²+(y－η)²=R

通过求联立方程组的解，即可得到基点的坐标。形成基点的五种形式及基点的计算公式见表8．5－70，表中还给出刀具中心轨迹上的基点计算公式。刀具中心轨迹即零件轮廓的等距线，直线Ax+By+C=0的等距线方程为Ax+By+C=±l。

表8．5－70 直线、圆弧轮廓零件基点的计算公式

❷ 等插补误差法。这种方法的特点是使各插补段的插补误差相等，并且小于或等于允许的插补误差。显然，用这种方法确定的各插补段的长度是不相等的。采用这种方法得到的插补段数较前一种方法少，因此对于大型或形状复杂的零件更具有意义。等插补误差法又称为平行线法，其具体过程如图8．5－148所示，以(x₀，y₀)为圆心，δ_允为半径作圆：

(x－x₀)²+(y－y₀)²= (8．5－135)

求此圆与零件轮廓曲线y=f(x)的公切线：

距该直线为δ_允的直线方程为

Ax+By=C±δ_允 (8．5－140)

式中 A=y_P－y_Q； B=x_Q－x_P； C=x_P(y_p－y_Q)－yP(x_P－x_Q)。

具体的计算步骤如下：

计算用直线逼近y=f(x)曲线的节点，得A、B，C……各点(参见图8．5－151)。程编误差δ₁=δ_允。

通过连续三点(x₁、y₁)、(x₂、y₂)、(x₃、y₃)作圆：

从起点A开始，任意选取三点B、C、D，A、B两点的法线方程如下

在P_i垂线上距离P_j点为δ的P/点作平行于P_j切线的直线l，其方程为

(2Ax_l+B)x－y－A+Cδ=0

将Ax²+Bx+C－y=0代入，解得交点m_i的x坐标分量为

在抛物线与圆相切的切点处(x₀，y₀)，两y₀及两y₀^′相等，故有

只要Δ_插不是规定得太小，很少加密就可满足精度要求。

直线公切两圆的插补有多种情况。如图8．5－162所示，P_t(x_t，y_t)、P_t+1(x_f+1，y_i+1)为样条函数S(x)上的两个型值点，R_l、O_l(a_l，b₁)为P_t点的曲率半径和圆心，R_i+1、O_i+1(a_t+1，b_t+1)为P_i+1点的曲率半径和圆心。当(y_l－b_l)(y_l+1－b_l+1)＞0时，为两圆弧同凸同凹情况。两圆弧同凸同凹情况下的公切线AB的斜率tgW的求法是：当R_l+1＞R_l时，O_tC与x轴夹角为W、O_lO_i+1与x轴夹角为U、∠CO_lO_l+1=V；R_l＞R_i+1时，O_i+1C与x轴夹角为W、∠CO_i+1O_t=V。W、U、V角度范围均在－π／²与π／2之间。W、U角取顺时针为正，逆时针为负。

V角随R_t与R_t+1的大小取正或取负。于是

取P_t、P_t+1两点在x轴上间距的中点P_m作为检查点，CD为插补误差。则

求EP_I和DP_i+1。ΔQP_iP_i+1的三个边分别为

❶ 行距ΔZ的确定。采用球头铣刀加工时，每两行之间留下的刀痕构成了加工表面的微观不平度，行距越大微观不平度高度h越大。两行间球头铣刀中心线距离S≈，从而可得

在xoy平面，m点处零件轮廓的切线与x轴的夹角为θ，在xoz平面、m点处零件轮廓的切线与x轴的夹角为α。

则

x^′_N－1=x_m－1－γ_m－1sinβ_m－1

y^′_N－1=y_m－1－γ_m－1cosβ_m－1

x_N=x_m－γ_msinβ_m－1

y_N=y_m－γ_mcosβ_m－1

过(x_－1，y_－1)和(x_N，y_N)两点作直线

y=K₁x+b₁

球头刀中心的变化量：

O_iO₂=Δx+R_刀(cosΦ₂－cosΦ₁) (8．5－200)

如图8．5－170所示，球头刀由截面Ⅰ到截面Ⅱ在x和y方向的位移为：

Δx=x_m1－x_m2－r₁sinθ₁+γ₂sinθ₂ (8．5－201)

Δy=y_m2－y_m1－r₁cosθ₁+r₂cosθ₂ (8．5－202)