皮亚诺

---

【生卒】：1858—1932

【介绍】：

意大利数学家、数理逻辑学家和语言学家。

他关于数理逻辑和数学基础的主要见解大部分包括在《算术原理，用一种新方法的说明》(1889)和《数学的陈述》(1894－1908)等书刊中。皮亚诺非常注重表意符号语言的作用，试图用符号表示全部数学内容，著手证明算术和代数可根据少数基本概念和基本命题建立起来。他自己发明了一种表意语言，其符号简单清晰易于辨认和阅读，许多都直接地或经过一些改进在当代逻辑文献中仍被保留下来继续使用。皮亚诺用自己创造的表意语言分析了大量的数学各分支的命题，从而说明了用这种语言来表达数学思维和内容是足够而可行的。在逻辑理论方面，皮亚诺还得到了一些前人如布尔等所未发现的新成果，包括：区别命题演算和类的演算，并且以命题演算为更基本；提出了一部分关于量词的理论，区分了“真实的”变元和“表面的”变元，现在称之为“自由”变元和“约束”变元；区别类和类之间的包含关系与类和分子的从属关系，从而明确了全称命题和单称命题的不同逻辑性质。

在数学基础方面，皮亚诺的最重要贡献是他运用公理化方法构造起来的自然数算术公理系统。

作为不定义的概念，他用了“0”、“数”和“一数的后继”等几个基本概念；他的公理有：

Ⅰ．0是数；

Ⅱ．一数的后继是数；

Ⅲ．任何两个数的后继都不相同；

Ⅳ．0不是任何数的后继；

Ⅴ．数学归纳法原则：如果某一性质T对0成立，并且如果T对任一数X成立，则它对X的后继也成立，那么T对每一数n成立。

以上公理系统见于1897－1899年《数学的陈述》的第二版。

戴德金虽曾于1887年用“链”的概念先给出了自然数的公理，皮亚诺也表明戴德金的工作对他有用，但皮亚诺的公理与戴德金的不同，他的系统是完全的，并且简单明了，理论上也优越，因而获得了公认。

皮亚诺的逻辑标志著19世纪逻辑代数发展到现代数理逻辑的过渡阶段，对现代数理逻辑的创建起了重要作用。当然，他的逻辑理论也还存在严重不足之处，譬如，他只是比较注重表意语言的作用，但并没有构成一个逻辑演算。