用二次函数解决实际问题的基本思路

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1．理解问题．

2．分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系．

3．用数学方法表示它们之间的关系．

4．做数学求解．

5．检验结果的合理性，拓展等．

例1 已知某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出2件．

(1)若每件衬衫降价x元，平均每天盈利y元，写出y与x间的关系表达式；

(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?最多盈利是多少?

解 (1)y=(20+2x)(40－x)，

即y=－2x²+60x+800；

(2)∵y=－2x²+60+800，

y有最大值

∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元．

例2 一隧道内有双向线公路，其截面是由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为确保安全，要求车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米，行车道的总宽度AB为6米，试计算车辆经过隧道时的限高是多少米(精确到0．1米)．

解 以矩形下边(地面)为x轴，下边中点为原点建立直角坐标系，则抛物线过P(0，6)和N(4，2)设所求解析式为y=ax²+c(a≠0)，

将P(0，6)和N(4，2)代入可得

当|x|=3时，y=3．75米，

∴3．75－0．5=3．25，

∴货车限高3．2米．

例3 启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x(万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：

(1)试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元?

(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金额投资新项目，现有6个项目要供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：

如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目：

∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元

(2)用于投资的资金是16－3=13(万元)．

经分析有两种投资方式符合要求：

一种是取A、B、E各一股，投入资金5+2+6=13(万元)．

收益为0．55+0．4+0．9=1．85(万元)>1．6(万元)．

另一种是取B、D、E各一股，投入资金2+4+6=12(万元)<13(万元)．

收益为0．4+0．5+0．9=1．8(万元)>1．6(万元)．

例4 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在著如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?

解 设每周参观人数与票价之间的一次函数关系为

y=kx+b(k≠0)．

∵y=－500x+12000，

根据题意得xy=40000．

即x(－500x+12000)=40000，

x²－24x+80=0，

∴x₁=20，x₂=4．

把x₁=20，x₂=4分别代入y=－500x+12000中，

得y₁=2000，y₂=10000．

因为控制参观人数所以取x=20，y=2000．

答 每周应限定参观人数2000人，门票价格应是20元．

例5 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出＿＿辆车．

(2)设每辆车的月租金为x(x≥3000)元．

用含x的代数式表示：

未租出的车辆数＿＿租出的车辆数＿＿．所有未租出的车辆每月的维护费＿＿租出的车辆每辆的月收益是＿＿．

(3)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?

解 (1)88．

(3)设每辆车的月租金为x元，租赁公司的月收益y元，则有．

所以当x=4050时y有最大值，最大值是307050元．

[解析] (1)月租金3600元时，是在原3000元的基础上增加了12个50元，故租出汽车将在原100辆的基础上减少12辆．(2)月租金x(x≥3000)元时，是在原3000元的基础上，增加了()个50元，故租出的汽车将在原100辆的基础上减少()辆，依此可得其他代数式．

例6 某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产，已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利(年获利=年销售额－生产成本－投资)为z(万元)．

(1)试写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

(2)试写出z与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

(3)计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元?相应的年销售量分别为多少万件?

(4)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围内?

解 (1)依题意知：当销售单价定为x元时，年销售量减少1/10(x100)万件．

即y与x之间的函数关系是：

(2)由题意得z=(30－1/10x)(x－40)－500－1500

即z与x之间的函数关系式是：

(3)∵当x取160时，z=－1/10×160²+34×160－3200=－320．

整理，得x²－340x+28800=0．

由根与系数的关系，得160+x=340．

∴x=180．

即同样的年获利，销售单价还可以定为180元．

当x=160时，y=－1/10×160+30=14．

当x=180时，y=－1/10×180+30=12．

即相应的年销售量分别为14万件和12万件．

∴当x=170时，z有最大值，有最大值为－310．

也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并且在第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资．

第二年的销售单价定为x元时，则年获利为：

当z=1130时，

即1130=－1/10x²+34x－1510，

整理，得x²－340x+26400=0，

解得x₁=120，x₂=220．

函数z=－1/10x²+34x－1510的图象大致如图所示

由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130．

所以，第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．