球的体积

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如果球的半径是R，那么它的体积是V_球=4/3πR³．

例1 证明 用一平面去截一个球，截面是圆面．

策略 分截面过球心和截面不过球心两种情况来考虑．

证明 设球的半径是R，下面分两种情况来研究．

(1)设平面α与球面相交，如果点O∈α(如下面(1))设A是球面和平面α的交线上的任意一点．

∵A在球面上，∴OA=R，∴A在平面α内以O为圆心，R为半径的圆上．反过来，如果B是这个圆上的任意一点．

∵OB=R，∴点B在球面上，点B在球上，又在平面α内，就是说点B在平面α和球面的交线上，因此，平面α和球O的截面是一个圆面．

(2)如果点(如上图(2))自点O作OK上α垂足为K．

设A是平面α和球面交线上的任意一点连接AK，

∵OK⊥α∴OK⊥AK

点评 本题是折卷问题，相反的过程则是铺展问题，所以我们不难得出如下结论——圆柱的侧面可以被铺展为矩形，这个矩形的长等于圆柱底面圆的周长，宽等于圆柱的高，这个矩形的面积就是圆柱的侧面积，所以圆柱的侧面积等于圆柱底面圆的周长乘以圆柱的高，即S_圆柱侧=2πrh(其中r为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高)．

对于折卷与铺展问题，必须明确折卷、铺展前后点、线、面的关系哪些变了，哪些没有变，而找准不变的关系往往是解决问题的关键，对于立体几何与代数、三角、解析几何等知识的综合应用问题，要注意利用二次函数，重要不等式，三角函数的变换和三角函数的有界性等知识解决立体几何中的最值问题，对于实际应用问题，要注意从实际中挖掘隐含条件，增强解决问题的条件支持．

例4 用一正三棱柱形木料加工成一半径为cm木球，此棱柱的体积最少应有多少cm³?

解 根据题意，棱柱为木球的外切三棱柱时，棱柱体积最小．

此时，棱柱的高为，棱柱的底面是半径为的圆的外切正三角形，其边长为

∴棱柱的体和最少应是54cm³