渐近鞅理论

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自20世纪50年代经典鞅论完成后，近代鞅论迅猛发展的同时，人们考虑能否减弱鞅定义中的条件而仍能保持鞅的部分性质，其主要特点是鞅条件在各种不同的极限意义下成立，这就是自60年代开始发展起来的渐近鞅理论。

设是实值适应可积序列，和T分别表示()停时和有界停时全体，记T(σ)=｛τ∈T：τ≥σ｝，。

❶ 称Z是鞅(Martingale)，若；

❷ 称Z是拟鞅(Quasimartingale)，若；

❸ 称Z是渐近鞅(Amart)，若存在且有限；

❹ 称Z是依概渐近鞅(Pramart)，若

❺ 称Z是极限鞅(1)(Mil(1))，若

❻ 称Z是极限鞅(2)(Mil(2))，若

❼ 称Z是极限鞅(3)(Mil(3))，若

❽ 称Z是依概极限鞅(1)(GFT(1))，若

❾ 称Z是依概极限鞅(2)(GFT(2))，若

❿ 称Z是循序鞅(PM)，若存在上升的适应集合列(A_n，，n≥1)

使有且在A_n上有；

⑾称Z是终鞅(EM)，若；

⑿称Z是拟终鞅(QEM)，若；

⒀称Z是L¹－极限鞅(1)(L¹－Mil(1))，若；

⒁称Z是L¹－极限鞅(2)(L¹－Mil(2))，若．

上述序列也称为鞅型序列，它们之间有下述关系：

若把上述序列定义中的绝对值｜·｜改为［·］^+(－)，就得到相应的上(下)鞅型序列。

例如称Z是极限下鞅(3)，若

，

，对给定的σ域流(，n≥1)，设表示具有某一特性的实值(，n≥1)适应的可积序列全体，称具有：

(A)可选停止性，若对每一个，有，

(B)可选采样性，若对每一个，对任取的上升停时列，均有。

(C)Riesz分解性，若对每一个(x_n，F_n，n≥1)∈1，有分解

x_n=M_n+z_n，n≥1

其中(M_n，，n≥1)是鞅，而Ez_nI_A→0，n→∞，；

(D)极大值不等式性，若对每一个，

有；

(E)a．s．收敛性，若对每一个，∞，

存在；

(F)变换性，若对每一个，(u_n，，n≥1)可料序列

(i)若(u_n，n≥1)一致有界，则，其中

(ii)若，在集合上存在

(G)差方可加性，若对每一个，，有

已知鞅具有所有上述性质，鞅型序列❷ ～⒁保持上述鞅性质的情况如表1所示。

表1

说明：(1)表中√表示有此性质，×表示无此性质，×^*表示在条件下有此性质。

(2)Pr．表示仅有依概率收敛性。

(3)F(ii)表示仅有变换性(ii)，F(ii)^*表示在条件｜＜∞下有变换性(ii)。

关于鞅型序列及其有关性质的一系列结果，常称为渐近鞅理论，几乎与此同时，向量值渐近鞅理论也被建立。

设(，‖·‖)是一Banach空间，是值Bochner可积适应序列，若把实值鞅型序列定义中的绝对值｜·｜换成‖·‖，即可得到相应的向量值鞅型序列的定义。

例如称Z是一致渐近鞅，若。

当时，渐近鞅与一致渐近鞅是等价的，但在一般Banach空间中，只有一致渐近鞅渐近鞅成立。向量值鞅与鞅型序列的鞅性质常与值空间的几何性质有关。

例如，1985年M．Talagrand证明了下述命题——设是一Banach空间，则下述等价：(1)有RNP，(2)满足条件的任一值Mil(3)必a．s．按范数拓扑收敛。现在，实值与向量值渐近鞅理论已趋于成熟，随著随机集理论的兴起，集值鞅与渐近鞅理论正处于发展阶段。

。【参考文献】：

1 Edgar G A, et al. J, Multivariate Anal,1976,6:193～221, 572～591

2 Millet A, et al. Can J Math, 1980,32:86～125

3 Gut A, et al. L.N. M, 1983,1042

4 Egghe L. Stopping time techniques for analysts and proba-bilists. Cambridge University Press, 1984

5 TomkinsRJ. Can J Statist,1984,12:99～106

6 Talagrand M. Ann of Probability , 1985,13:1192 ～1203

(华东师范大学汪振鹏教授撰)

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"渐近展开法渐近展开法

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逼近论和解析数论的重要工具。

其基本思想是利用一个简单函数系去逼近一个复杂的函数，并使之逼近到任意精确的程度。因此，渐近展开方法在理论和实际计算中都有重要应用。

设｛φ_n(x)｝(n=0，1，2，…)为一函数序列，它满足下列条件：φ₁(x)=0(φ₀(x))，φ₂(x)=0(φ₁(x))，…(x→∞)，设存在一列常数C₀，C₁，C₂，…使得函数f(x)有以下的估计

f(x)=o(φ₀(x))， (x→∞)；

f(x)=c₀φ₀(x)+o(φ₁(x))， (x→∞)；

f(x)=c₀φ₀(x)+c₁φ₁(x)+o(φ₂(x))， (x→∞)；

…………

…………

显然，上式是一个逐次精密的过程，如果上式成立，则记

f(x)≈c₀φ₀(x)+c₁φ₁(x)+c₂φ₂(x)+…，

(x→∞)

并称右式为f(x)关于函数列｛φ_n(x)｝的渐近级数或渐近展开，例如，函数，利用分部积分法，可以得到exf(x)关于函数列的渐近级数是，并有以下估计式成立

在渐近展开中，最简单最重要的是取φ_n(x)=x^－n，(n=0，1，2，…)的情形，对此种情形，渐近展开的意义可表述如下：设函数F(x)与级数的第n个截断之差，对于任意固定的n都满足条件，则称级数是函数F(x)的渐近展开或渐近级数，并记为

F(x)≈C₀+C₁X^－1+C₂X^－2+…

显然，一个函数的渐近级数并不一定收敛到该函数，甚至它可以是发散的。渐近展开还有以下重要性质：(1)(唯一性)若，且，则必有C_n=B_n(n=0，1，2，…)(2)若，，则，，其中；(3)若则；(4)若，则。