求函数的最大值与最小值

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设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]的最大值与最小值的步骤如下：

1．求f(x)在(a，b)内的极值；

2．将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

在开区间(a，b)上连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．

例1 求函数y=sin³x+cos³x，x∈[0，2π)的最大值与最小值．

令y′=0，在[0，2π)内解得x=0，，，π，5/4π，3/2π，当x变化时，y′，y的变化情况如下表：

(取，检验y′在[，]上取“+”号，然后按“+”、“—”相隔定y′的符号)

例2 设f(x)是四次函数，当x=±1时，取极小值0，且其极大值为2，求f(x)的解析式，并求f(x)的最小值，画出函数的图象．

解 可先设出函数的解析式，∵此函数在R上连续可导，∴f(±1)=0，又f(x)在x=±1时取极小值为0，∴f(±1)=0，同时找出极大值点x₀，则f(x₀)=2，根据以上条件可求出解析式．

设f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e，(a≠0)，

则f′(x)=4ax³+3bx²+2cx+d．

依题：f′(—1)=—4a+3b—2c+d=0 (1)

f′(1)=4a+3b+2c+d=0 (2)

f(1)=a+b+c+d+e=0 (3)

f(—1)=a—b+c—d+e=0 (4)

由(5)、(8)得b=d=0，由(6)、(7)得c=—2a，e=a．

∴f(x)=ax⁴—2ax²+a=a(x²—1)²，∴f′(x)=4ax³—4ax

=4ax(x+1)(x—1)．

由题设条件，当x=±1时，f(x)=0，符合题意，显然x=0时f(x)_极大=2，∴f(0)=0，得a=2．

∴f(x)=2(x²—1)²．

又当x→±∞时，f(x)→∞，故f(x)没有最大值，f(0)=2是其极大值．

当x=±1时f(x)=0是极小值也是最小值注意到f(x)=2(x²—1)²是偶函数，故函数图象如上图．

例3 求函数f(x)=|x²—3x+2|，x∈[—10，10]的最大值与最小值．

解 由于函数的表达式中含有绝对值，因此，首先应该利用分段函数表示f(x)，然后求出各段函数上的导数为0点处的函数值及边界值，最后进行比较可得所求的最值．

ⅰ当x∈[—10，1]时f′(x)<0，

∴f(x)在[—10，1]上单调递减；

ⅱ当x∈[2，10]时f′(x)>0，

∴f(x)在[2，10]上单调递增；

ⅲ当x∈(1，2)时，令f′(x)=0，

得x=3/2．

计算：f(—10)=132，f(1)=0，f(2)=0，f(10)=72，f(3/2)=1/4，

通过比较可知函数f(x)的最小值为0，最大值为132．