数学归纳法

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证明与自然数n有关的命题的一种方法，其步骤为：(1)验证当n=n₀(n₀为某一自然数)时，命题P(n)成立；(2)假定当n=k时，命题P(n)成立，可推出当n=k+1时，命题P(n)亦成立。

由上断定：对于一切n≥n₀的自然数，命题P(n)成立。当n₀=1时，则对于一切自然数，命题p(n)成立。例如，求证1+3+5+…+(2n－1)=n²(1)证明：(1)当n=1时，(1)式成立；(2)假定当n=k时，(1)式成立，即1+3+5+…+(2k－1)=k²，则当n=k+1时，1+3+5+…+(2k－1)+[2(k+1)－1]=k²+[2(k+1)－1]=k²+2K+1=(k+1)²即(1)式成立。故对所有的自然数n，(1)式都成立。

数学归纳法可帮助我们认识客观事物，由简到繁，由有限到无限。数学归纳法于16世纪被引入。

1575年，莫罗利克斯(Maurolycus，F．)在《算术》中提出了数学归纳法。后来，皮亚诺(Peano，G．)提出了关于自然数的五个公理，其中第五个公理：“若一个由自然数组成的集合N含有1，又若当N含有任一数k时，它一定也含有k的后继者，则N就含有全部自然数。”就是数学归纳法公理。这样便为数学归纳法提供了可靠的根据。