布朗运动

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英国植物学家布朗(Brown，Robert)1827年首次观察到粒子随机运动的模型，即微粒体在媒质中的无定向无规则的震动，在经过一段时间后微粒将趋向均匀分布于整个媒质中。

后经研究发现，布朗运动实际上是一个连续的随机过程(Continuous-time Stochastic Processes)。

布朗运动在经济模型中的应用主要集中在资本理论和金融市场领域。1905年，爱因斯坦应用统计力学方法最早用数学公式描述了布朗运动过程。

而路易斯·巴舍利耶(Louis Bachelier)在1900年就在他的股票期权价格理论中描述了类似的连续随机过程。

用抽象的数学公式表示，一个布朗运动可表示为：{B(t)；t∈R₊}，其中R₊为正实数。其特性如下：

(1)对于0≤s＜t＜∞，B(t)－B(s)服从于均值为0、方差为t－s的正态分布；

(2)对于0≤t₀＜t₁＜……＜t_n＜∞，{B(t₀)；B(tk)－B(t_k－1)，k=1，2，…，n}是一组相互独立的随机变量。

此后，杜布(Doob)、费勒(Feller)、伊藤(It)、维纳(Wiener)和其他学者继续发展了连续随机过程的一般理论。在该理论发展的半个世纪中，它在经济中的应用主要限于对有关经济变量的时序相关假设的检验和公式描述上。直到50年代和60年代初，连续随机过程理论才融入到经济理论当中。

在萨维奇(L．J．Savage)对巴舍利耶有关期权理论进一步研究的基础上，1965年萨缪尔森(Samuelson)提出了一个理性付款价格理论。

不同于巴舍利耶关于一种股票价格变动过程是布朗运动的假设，萨缪尔森认为一种股票价格的对数遵循布朗运动，因而保证了典型股票价格在出现有限的不利条件时而显示出积极的特性。这一被萨缪尔森称为几何布朗运动的过程，仍是当今经济学家们用来描述股票价格行为的模型原型。

尽管目前付款和期权价格理论仍作为一个标准模型，但是直到60年代末和70年代初，默尔顿(Merton)才首次在经济分析中应用了伊藤的杰出研究成果－随机积分。伊藤对随机过程理论的贡献在于，当积分算子是布朗运动时，给出了所需性质的一个积分的定义。伊藤在随机微积分中最为有用的成果是所谓的伊藤预备定理，即任何一个伊藤过程的二次连续可微函数，其本身就是伊藤过程。由此，大多数静态效用最大化模型就易于扩展到具有不确定性的动态背景，出现了许多有关资本理论和经济增长，以及资产价格的模型应用。

尽管连续随机过程理论的研究重点是在资本理论和金融市场，但仍可在经济领域以外找到该理论的相关应用。如最优停止理论在对策论中的应用等。