垛积比类

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四卷。

清李善兰(详见《方圆阐幽》撰。这是自朱世杰《四元玉鉴》之后讨论高阶等差级数求和的最优秀的著作，也是李善兰的代表作。

自序中不详撰著年月，当代中算史家李俨、钱宝琮认定其时当在1859年之后，而李迪则认为应在1853－1859年写成的。

《垛积比类》为研究各类垛积问题专著，属现代组合数学之范围。

李善兰自称该书是他得意杰作，在卷一中他说：“今所述，有表有图有法，分条别派，详细言之，欲令习算家知垛积之术，于《九章》外别立一帜，其说自善兰始。”全书四万五千字，图、表各占1／3，文字部分为定义、定理、演草，总共给出各类式四百余则，无一应用题。以传统方式叙述，结构严谨，条理清楚，每一卷除图外可分为四个部分：(1)表和造表法。全书共有十五张垛积表，其中基本垛表六张，支垛表七张，系数表二张，是按不同方式对贾宪三角形的推广。

每张表下均给出其造法，多为递归定义。(2)解和草。

全书列举了五十七个具体垛的定义式，分别与表和造表法定义的各垛相当，亦具推导和演草的性质。(3)有高(层)求积术。

这是全书的中心部分，给出了各种求前n项和公式124个，其中包括一批重要定理。(4)有积求高(层)术。这为前一部分逆问题，约占全书一半，给出100个方程式及112则列方程的草式，方程次数有的高达10次，最大系数为10!。

书中所有定理均由归纳或推导而得，无演绎证明，但其结果全都正确。

全书四卷，各自成章，每卷都构造了一个垛积体系。卷一是朱世杰的三角垛及其派生的各支垛，并对朱世杰三角垛求和公式加以推广；卷二为乘方垛及各支垛，讨论了当p为任何正整数时，级数1+2^p+3^p+…+n^p的求和公式；卷三为三角自乘垛和各支垛，并创立了著名的“恒等式”：。其中是二项式定理系数。卷四讨论的三角变垛是朱世杰的岚峰形垛以及三角再变垛、三角三变垛的求和公式。

《垛积比类》以表为纲，全书的内容均建立在表的基础上，造表的方法最主要的一是改变“表根”(即初始条件)，二是利用递推公式计算表内(不含最外侧两斜行)各数而得。

值得注意的是“三角垛有积求高开方廉隅表”，其中各数以记之，另一为“乘方垛各廉表”，各数以表示。这两表分别是两类方程的系数表，与被称为“李善兰数”，与现代组合数学中的第一种斯特灵数与欧拉数关系十分密切，李善兰通过独立研究，获得了大批成果，有些工作超过了国外的同类工作。自1867年之后的40年平均每两年出版一种垛积术著作，可见《垛积比类》影响之大。

当代数学家图兰帕尔(匈牙利，1910－1976)、华罗庚(1910－1985)还为“李善兰恒等式”给出了证明。李善兰的《垛积比类》是早期组合数学的杰出著作。该书的版本主要有：《则古昔斋算学》本，有现藏北京图书馆的1867年金陵刊本和积山书局石印本，并有现藏故宫博物院的1882年江宁藩署刊本；《古今算学丛书》本，现藏北京、北大、清华、浙江、湖南各处的图书馆及中科院自然科学史研究所。