圆的参数方程

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(θ为参数)

例1 已知圆C的圆心C在直线l₁∶y=1/2x上，圆C与直线l₂∶相切，且过点A(2，5)，求圆C的方程．

解 设圆C的方程是

(x—a)²+(y—b)²=r²．

∵圆心在直线l₁∶y=1/2x上，

∴a=2b． ❶ 

∵圆C过点A(2，5)，

∴(2—a)²+(5—b)²=r²．❷ 

圆C和直线l₂∶相切，

联立❶ 、❷ 、❸ 式解得a=2，b=1，r=4或，，r=4．

故所求圆的方程为(x—2)²+(y—1)²=16或．

点评 待定系数法是求圆的方程的基本方法．

例2 判断下列曲线方程是否为圆的曲线方程

(1)x²+y²—2x—4y+10=0；

(2)2x²+2y²—4x=0；

(3)x²+y²+20x+b²=0．

解 (1)x²+y²—2x—4y+10=0，

∵A=C=1，D=—2，E=—4，F=10，

而D²+E²—4AF=4+16—40<0，

∴不表示圆．

(2)2x²+2y²—4x=0，

∵A=2，C=2，D=—4，F=0，E=0，

而D²+E²—4AF=16>0，

∴表示圆．

(3)∵A=C=1，D=20，F=b²，E=0

而D²+E²—4AF=400—b²，

无法判断与0的关系，

∴此方程不表示圆．