因式分解的基本步骤

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1．一提(提公因式)．

2．二套(套用公式)．

例1 分解因式：

(1)9x²－16y²；

(2)a⁴+2a²b²+b⁴．

解 (1)9x²－16y²

=(3x)²－(4y)²

=(3x+4y)(3x－4y)．

(2)a⁴+2a²b²+b⁴

=(a²)²+2a²b²+(b²)²

=(a²+b²)²．

例2 分解因式：

(1)4a²－16；

(2)am²－8am+16a．

解 (1)4a²－16

=4(a²－4)

=4(a+2)(a－2)．

(2)am²－8am+16a

=a(m²－8m+16)

=a(m²－8m+4²)

=a(m－4)²．

[解析] 先提公因式，然后用公式．

例3 分解因式：

(1)－x²+4x－4；

(2)1/3a²－2a+3．

解 (1)－x²+4x－4

=－(x²－4x+4)

=－(x－2)²．

(2)1/3a²－2a+3

=1/3(a²－6a+9)

=1/3(a－3)²．

[解析] ❶ 一个多项式提出“－”号后，括号里各项都变号．

❷ 当多项式中某些项的系数为分数时，先提取一个适当的分数，使提取后的多项式的系数都化成整数，以利于分解．

例4 已知：a+b=5，ab=3，求a²－3ab+b²的值．

解 〈方法一〉

a²－3ab+b²

=a²－3ab+b²+5ab－5ab

=a²+2ab+b²－5ab

=(a+b)²－5ab．

当a+b=5，ab=3时，(a+b)²－5ab=5²－5×3=10．

〈方法二〉∵a+b=5，

∴(a+b)²=5²=25．

∴a²+2ab+b²=25．

∵ab=3，

∴a²+b²=25－2×3=19．

∴a²－3ab+b²

=a²+b²－3ab

=19－3×3=10．