反函数

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式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y)．如果y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中有惟一的值和它对应，那么式子x=φ(y)就表示x是自变量y的函数．这样的函数x=φ(y)，叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f^—1(y)．

1．反函数存在的条件

若函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，且函数所确定的映射是A到C的一一映射，则该函数存在反函数．

2．原函数与反函数的关系

(1)函数y=f(x)的定义域、值域分别是反函数y=f^—1(x)的值域、定义域．而反函数的定义域必须通过求原函数的值域得到．

(2)一般地，函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f^—1(x)的图象关于直线y=x对称．

(3)图象间的关系：y=f(x)与x=f^—1(y)是同一图象，而y=f(x)与y=f^—1(x)图象关于直线y=x对称．

3．求一个函数f(x)(x∈D)的反函数分三个步骤：

(1)由y=f(x)解出x=f^—1(y)；

(2)x、y位置互换，得到y=f^—1(x)；

(3)标明反函数定义域(即原函数值域)．

4．两个有用的结论

(1)．

(2)f[f^—1(x)]=x，x∈f(x)的值域，

f^—1[f(x)]=x，x∈f(x)的定义域．

5．函数与反函数的关系(如下表)

例1 求下列函数的反函数：

分析 按求反函数的方法分步求解．

易知在x≤—1时，函数是递减函数，存在反函数，对原式两端平方，得y²=x²+x，

∴且原函数的值域为{y|y≥0}．

故所求的反函数为

(2)当0≤x≤1时，—1≤x²—1≤0，

即—1≤y≤0．

由y=x²—1(0≤x≤1)得，

∴．

当—1≤x<0时，02≤1，即0

由y=x²(—1≤x<0)得．

∴．

综上所述

例2 若点(1，2)既在函数f(x)=的图象上，又在其反函数f^—1(x)的图象上，试确定f(x)的解析式．

分析 利用互为反函数的两个函数图象之间的关系．

评析 由于互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，因而点(1，2)在反函数f^—1(x)的图象上时，其关于直线y=x的对称点(2，1)必在原函数的图象上．

例3 已知，函数y=g(x)的图象与f^—1(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(11)的值．

解的反函数为f^—1(x)=．

∵y=g(x)的图象与y=f^—1(x+1)的图象关于直线y=x对称，

∴y=g(x)与y=f^—1(x+1)互为反函数．