齐次函数和欧拉公式homogeneous function and Euler’s formula

对一个定义在非负卦限上的n元函数f(x₁，…，x_n)，如果对某一个整数r及每一个t>0，都有等式f(tx₁，…，tx_n)=t^rf(x₁，…，x_n)成立，则称f(x₁，…，x_n)为r阶齐次函数。在经济学中的消费者需求函数x(p,y)是零阶齐次，常见的柯布—道格拉斯生产函数f(L,K)=L^αK^β是(α+β)阶齐次。
如果f(x₁，…，x_n)是r阶齐次的及可微的，则对任何(x₁，…，x_n)≥0，下式成立：

这就是欧拉公式。
例如设f(L,K)是一个一阶齐次生产函数，由欧拉公式有：

它的经济意义是，当生产函数是一阶齐次时，各种投入的边际产量乘其投入量之和，正好等于总产量。