集合论悖论

又称“逻辑悖论”。罗素于本世纪初提出。罗素根据素朴集合论对集合的直观理解，定义这样一个集合，它以所有不以自身为元素的集合作为元素。问题是：它是否以自身为元素？如果它以自身为元素，那么按照定义，它不以自身为元素；如果它不以自身为元素，那么同样按照定义，它以自身为元素。

集合论悖论

指在集合论中所发现的悖论。这些悖论都属于语法悖论。罗素悖论，康托尔悖论和布雷里—福尔蒂悖论是三个著名的集合论悖论。其中，罗素悖论的影响最大，导致了数学史上的第三次危机。从本世纪初，人们对悖论进行了广泛的研究。这种研究极大地促进了数学基础理论、逻辑学和哲学的发展。
罗素悖论 罗素1901年提出的悖论。这个悖论根据概括原则，每一性质定义一个集合。考虑性质“不是自身元素的集合”，所定义的集合即由不是自身元素的集合所组成的集合。把这个集合记作A，把上述性质用符号表示为：X∉X,X代表任意一个集合。于是集合A的定义可以表示为：
X∈A，当且仅当X∉X。
现在问：集合A属不属于A?如果A属于AA∈A，根据定义，属于A的集合都不是自身的元素，即有A∉A。反之，假设A不属于A (A∉A)，即A不是自身的元素，于是根据定义，A属于A (A∈A)。这样，从A∈A推出A∉A，又从A∉A推出A∈A，即
A∈A，当且仅当A∉A。

布雷里—福尔蒂悖论 又称最大序数悖论，是1897年发现的。根据康托尔集合论，所有的序数可以组成一个集合。但是“所有序数的集合”就是一个悖论。因为所有序数可以用序数的自然次序排成一良序，所以所有序数的集合是一个良序集合，这个集合本身也有一个序数。但是，一个序数集合的序数应该大于属于该集合的每一序数，因此，所有序数集合的序数大于任何序数，也就是说所有序数的集合有序数但又不属于任何序数。
康托尔悖论 又称最大基数悖论，是康托尔(Cantor)1899年发现的。把所有的集合组成一个新的集合，记作U。根据康托尔定理，一个集合M的幂集P (M)的基数大于M的基数，即有，也就有。但是另一方面，P (U)中的元素都是集合，而U是所有集合的集合，因此P (U)中的元素都是U的元素，即：P (U) U。由此，根据集合论的另一条定理，有：。
一些学者认为，集合论中之所以会出现一连串悖论，主要是由概括原则引起的。为了解决这个问题，蔡梅罗(E·Zermelo 1871—1953)把集合论公理化，形成公理集合论，并于1908年公开发表。之后，弗兰克尔(A·A·Fraenkel)对这个理论作了一些修改和发展，形成ZF系统。ZF系统给出了七条公理：外延公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、分离公理、选择公理和无穷公理。从这七条公理出发足以推出康托尔的集合论，并且其中的分离公理限制或取代了概括原则。由于分离公理的限制作用，罗素所构造的A={X:X∉X}不能成为ZF系统中的集合，这就保证不会出现悖论。