集合的等价jihe de dengjia

设A和B是两个集合，如果存在一个对应f∶A→B是一一对应，那么就称集合A和B是等价的(对等的，等势的).记作A～B.
集合的等价具有以下性质：
❶反身性：A～A;

❷对称性：A～B⇒B～A;

❸传递性：A～B,B～C⇒A～C.
由集合等价的定义可知：设k是某一确定的自然数，Nk={1,2,3，…，k}，对于任何一个集合A，若A～Nk，则A是有限集合，且元素的个数为k；设P是一个无限集合，对于任何一个集合A，若A～P，则A也是一个无限集合，且与P有相同的基数.
例如，整数集Z与偶数集E就是等价的，即Z～E.事实上，可以建立以下对应法则 f∶a→b=2a (a∈Z,b∈E).即

……	—2,	—1,	0,	1,	2,	……
	↓	↓	↓	↓	↓
……	—4,	—2,	0,	2,	4,	……

可以证明，f∶Z→E是一一对应.故Z～E.
设是以集合为元素的非空集合，如果定义关系r= {(A,B) |A∈,B∈,A～B}，那么可以证明r是中的一个等价关系(参见“关系”和“等价关系”).这也就是采用“等价”这个术语的原因.