钟面算术Zhongmian suanshu

这类问题与整数同余问题(尤其是模12或60同余)密切相关。因此对于同余概念理解有好处。
例1: 从早8时至晚8时， 钟表的 (a)时针和分针有多少次重合； (b) 时针和分针有多少次相交成直角。
例2: 一位修表工人误将一只表的时针和分针装成了一样的， 有些情况下表的主人根据两个表针的位置就可以确定哪个是时针，哪个是分针。有些情形则无法确定， 试问 (a) 什么情形下无法确定哪个是时针？(b)从早6时至晚6时，无法确定哪个是时针的情况发生多少次？
例3:证明除了12点整之外， 时、分、秒三针不可能重合。
例4:二时整， 时针与分针交成60°角， 问再过多少时间时针与分针又相交成60°角。
解答：
例1, (a) 依常识， 时针走一格 （一小时）, 分针走一圈，一格为一周的1/12，故分针的速度是时针的12倍，设时针指向x格 (即x时) 时两针重合， 令[x]表示x的整数部分， (x)表示x的小数部分， 即x= [x] + (x), [x]是整数， 0≤ (x) <1, 例如[1.5] =1, (1.5) =0.5, 那么12 (x) =x= [x] + (x), 11· (x) = [x]
时12小时中重合11次。
(b)每次重合前后15分钟多一点，两针交成90°，由于重合11次， 故共有22次交成直角。
例2,(a)显然当两针重合时不能确定哪一个是时针，但这远不是全部，设一针指向x，另一针指向y，并设此时无法根据针的位置区别那个是时针，沿用例1的记号， x, y应满足下面的关系式
12· (x) =y (1) (以指向x的针为时针)及 12· (y) =x (2) (以指向y的针为时针)
x, y均以钟面上1小时（时针） 为单位。(1)、(2)两式可解释为： 由于时针角速度为分针角速度的1/12，故分针与12时的夹角等于时针与最接近的整点夹角的12倍。例如1点20分时， 时针与1点的夹角为10度， 而分针与12点的夹角为120度。
(b), (a)中 (1)式两端12倍， 加上(2)式，得144 (x) +12 (y) =12·y+x, 整理得143 (x) =12 [y] + [x] (3)
(3)式的右端是整数，故143· (x)是整数对于从0到11的任意一对[x]、[y]，可求得唯一的(x)和(y)，若要[x]≠[y]，共有132个不同的[x]、[y]对，此时两针不会重合。若取[x]=[y]则不难算出(x)=(y)此时两针重合，由(a)知此种情况在12小时内出现11次。综上述， 当时、分针形状相同时，仅根据它们的位置无法判定哪个是时针的情况在12小时内出现132+11=143次。
例3，由于分针角速度是秒针角速度的1/60故从

分、秒三针不可能重合。
例4, 二时整， 时针与分针交成60°, 由例1, 再过2/11小时时针与分针重合，再过同样长时间， 时针与分针将再度交成60°角， 此时的时间大约是2时21分49秒。