逻辑斯蒂方程

见种群增长模型。

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逻辑斯蒂方程Logistic Equation

描述生物种群生长动态的数学模型，又称自我抑制性生长方程。由佛哈特(P.F.Verhulst,1838)提出逻辑斯蒂生长曲线，其方程式为：

N=K/(1+Ce^rt)

其微分形式为：

dN/dt=rN(1-N/K)

式中，N为该种群的个体数，K为环境所能容纳的种群个体的最大数量，r为种群的内禀增长率。这个方程式同一般的指数方程比较，多了(1-N/K)这一修正项，其含义为种群增长不仅取决于r和N，而且受到环境容纳能力即种群增长的“剩余空间”的影响。当N=0时，种群为指数增长，当N=K时，dN/dt=0，即所有“空间”均被占有，种群不再增长。而0剩余空间”(1—n k)的修正。这个方程的积分式的曲线形式是以拐点为中心的中心对称的s型，推导从略。式中c为积分常数，c="Ln(N/(K—N))。"
植物病害群体的增长一般是用植物群体中发病植株或叶片的比例来描述，因此，最大值即环境的最大容量为1(100%)，将K=1代入逻辑斯蒂方程，并按范德普朗克(J.E.Van der Plank,1963)的原始描述方法，用X代表病情，则得到以下微分方程式：

dX/dt=rX(1-X)

如用X_t表示经过时间t后的X值，用X₀表示时间t=0时的初始X值，则当t=0时，可求得积分常数C=1n(X₀/(1-X₀))。方程可转换为

ln(X_t/(1-X_t))=ln(X₀/(1-X₀))+rt

如以X ₁、X₂分别表示时间为t₁和t₂的病情，则上式可写成

ln(X₂/(1-X₂))=ln(X₁/(1-X₁))+r(t₂-t₁)

式中ln (X/(1-X))称为X的逻辑斯蒂值，记作logit(X)。在植病流行中，可利用两个时间点的病情求得r值，或根据r值和初始病情预测经(t₂-t₁)时间后的病情。
在实际应用中，有些病害最大发病程度不会达到100%，因此必须明确方程所应用的范围和前提。应用逻辑斯蒂方程应符合以下条件：❶所有个体同等看待，即不考虑个体间存在差异。
❷K和r为不依赖于时间和年龄而变的常量。
❸病情预测或推算r值中，X1到X2的时间应该大于一个潜育期。
❹不考虑个体死亡率和菌源的迁入与迁出。剩余空间”(1—n>