费尔马大定理feierma dadingli

也称费尔马猜想，是至今未解决的数论难题. 约在1637年，法国数学家费尔马在阅读丢番图的 《算术》一书时，在书的空白处记下，当n>2时，不定方程xⁿ+yⁿ＝2ⁿ没有整数解x,y,z (xyz≠0).这就是著名的费尔马大定理（也叫费尔马猜想）.他还写到：“我发现了”它的一个巧妙的证明.但书上的空白太窄，写不下”. 后人没有找到他对这个定理的证明.300多年来，经过许多优秀数学家的努力，这个猜想一直没有被证实，也没有举出反例. 但他们的工作却促进了数学的发展. 库默尔为了证明费尔马大定理所创造的理想数论，为代数数论奠定了基础，并且理想数论已经成为许多数学分支的重要工具.
容易看出，为了证明费尔马大定理，实际上，只须证明不定方程x⁴+y⁴ = z4和不定方程x^p+y^p＝z^p,(p为奇素数)都没有xyz≠ 0的整数解.前一种情形已经被费尔马 （使用无穷递降法）和欧拉所证明. 后一种情形当p=3时为欧拉在1770年所证明，后来勒让德也独立地证明了这个结果；当p=5时为勒让德在1825年所证明； 当p=7时为拉美在1839年所证明. 1844年库默尔创立了理想数论，并用以证明了除去p=37,59,67三数之外，100以内的全部奇素数情况下费尔马大定理成立.到1978年，S. S.瓦格斯塔夫借助于大型电子计算机证明了2

对于上述后一情形，若 (x,y)=d，则有d|z，故只须研究下述方程即可

x^p +y^p +z^p = 0 (x,y)=(y,z)=(x,y)= 1.

当pxyz时叫做费尔马大定理的第一情形，当p|xyz时叫做费尔马大定理的第二情形. 一般说来，初等方法往往只能用来解决费尔马大定理的第一情形，到1941年，莱梅证明了当p<253 749 889时，费尔马大定理的第一情形成立.
应当指出，近年来，对费尔马大定理的研究，取得了突破性的进展. 例如，1983年，伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而推出，对于每个固定的n,n≥3，不定方程xⁿ + yⁿ =zⁿ至多只有有限组整数解x,y,z,(x,y)=1. 1985年，阿德尔曼和希思布朗证明了有无穷多个素数，使费尔马大定理的第一情形成立. 显然，目前的结果距费尔马大定理的最终解决，还有相当大的距离.

费尔马大定理Fei'erma dadingli

古希腊数学家丢番图的《算术》是数学史上一部影响极为深远的名著，1621年，法国数学家梅齐利亚克(de Meziriac,B.)
整理出版了它的拉丁文译本， 其第二卷第8命题是：“分一给定平方数为两个平方数”。由于丢番图所说的平方数可以是有理数的平方， 因此这一命题实际上等价于求下列不定方程的非零整数解：
x²+y²＝z² (1)
至迟在欧几里得时代人们已经知道这个不定方程有无穷多解并且得到了它的通解。然而大约在1637年，就在写有这一命题的页边，法国南部图卢兹议会一位业余爱好数学的议员费尔马(Fermat. p. de) 却写下了这样一段惊人之话：“另一方面，将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地，将一个高于二次的幂分为两个同次的幂， 这是不可能的。对此，我确信已经发现了一个美妙的证明，可惜这里的空白太小了，写不下，”这段话用今天的数学语言叙述出来就是： 对于一切大于2的正整数n, 方程
xⁿ+yⁿ＝zⁿ (2)
没有正整数解。这就是通常所说的费尔马大定理或费尔马最后定理。费尔马于1665年逝世， 他的儿子在《算术》一书中发现了老费尔马写下的48条页边注释，便于1670年出版了这个译本的新版本，把这些注释做为附录，第二条注释就是上述命题。然而，人们却始终没有找到费尔马对这个命题所作的证明。从此以后，这个定理(实际上应该称之为“猜想”)难住了无数的数学家。并成为数学史上最著名的待解决问题之一。
人们注意到， 如果已经证明对于某一正整数m(m>2)，方程x^m+y^m＝z^m没有正整数解，则对任意自然数n, x^mn+y^mn＝zmⁿ等价于 (xⁿ)^m+(yⁿ)^m＝(zⁿ)^m，可知对m的一切整倍数费尔马大定理也成立。因此为了证明这一定理成立， 只需考虑指数为4以及大于2的全体素数即可。
1676年，根据费尔马生前一封信中的提示， 法国数学家弗雷尼克(Frenicle)证明了n=4时定理成立。1770年欧拉证明了n=3。1823年狄利希雷和勒让德证明了n=5。1839年法国数学家拉梅(Lame)，证明了n=7。从1670年费尔马大定理公布到1839年， 有关进展十分缓慢。
300多年来，许多优秀数学家研究过这个问题，不少数学家为此献出了毕生的精力。它还吸引了成百上千的业余爱好者，1908年， 当一位德国教授沃斯凯尔(Wolfskehl)悬赏10万马克，委托格廷根科学协会奖给第一个证明这一定理的人之后， 据说有些商人都去研究它了。
打算用初等方法证明费尔马大定理是不可能成功的。业余爱好者往往对于n=3,4,5,7这些早在一、二百年之前已经解决的情形都束手无策， 更不要说更一般的情形了。利用电子计算机，数学家们已经对150000以内的一切指数n证明了这一定理成立， 但这对定理本身仍无济于事，因为自然数的个数是无穷的，一切针对具体的指数n的证明都不能从根本上解决问题。数论史上流传着这样的掌故： 德国数论专家兰道(Landau) 曾请人印了很多明信片， 上面写着： “亲爱的先生或女士：您对费尔马大定理的证明已经收到，现予退回，第一个错误出现在第____页第____行。”他将这些明信片发给他的学生们， 吩咐他们将相应的数字填上去。
数学史上不乏这样的例子： 许多问题本身也许并不十分重要，但是为了解决它们，必须提出新的思想，创造新的方法，引出新的概念和结果，从而极大地丰富了数学知识宝库，并对其他许多问题的解决作出贡献。费尔马大定理在很长时间里就被看成属于这一类问题。曾经对这一问题的研究作出巨大贡献的德国数学家库默尔 (Kummer) 就认为： “费尔马大定理与其说是科学的一处高峰，还不如说是一件科学珍品”。希尔伯特曾经宣称他能解开这一猜想， 但由于在求解过程中给数学发展创造了不少新的途径， 解决它之后这些好处就没有了， 因此他说：“我应当更加注意，不要杀掉这只经常为我们生出金蛋来的母鸡。”为解决费尔马大定理，库默尔在开始于1844年的一系列论文中创立了理想数理论，尤其是发展了理想的因子分解理论，以此为基础，在19世纪产生了代数数类以及更一般的域概念，产生了戴德金的代数数理论，从而形成了代数数论的基本内容， 经希尔伯特新颖、独特而强有力的方法，成为一门独立的数学分支，并超出数论范围而深入到代数和函数论的领域。
今天， 数学家们对这一著名问题的重要性又有了新的认识。研究结果表明，费尔马大定理可以看作现代数论中极为重要的“结构猜想”的推论。结构猜想与最近30年来广泛发展的一些理论密切相关，数论专家们认为，他们有深刻的、令人信服的理由去相信它，虽然还不能证明它。他们说，没有一个成熟的数学家不相信这个假定。如果哪个人搞出个证明，说这个猜想错了，那才真正使人吓一大跳， 各个数学中心就都要下半旗了。由于这个缘故，费尔马大定理已不再仅仅是一个以其叙述的简单、易明和优美吸引人们的孤立命题，而是已经在现代数学主流中占据了稳固的地位， 从而使数学家们可以说：“现在有很好的理由相信费尔马大定理是对的了。”

费尔马大定理

法国数学家费尔马(Fermat,1601—1665)提出了这样一个问题：方程xⁿ+yⁿ＝zⁿ当n是大于2的整数时，不能有非零的整数解。这是数论中著名问题之一，称为费尔马大定理（又称费马猜想）。当n=2时，由勾股定理知x=3,y=4,z=5是x²＝y²＝z²的一组非零整数解。由初等方法可以找到x²＝^y2=z2的一切整数解的通式是x=k (a²—b^{2),y=2kab,z=k(a2}+b²)，其中a, b是互质的两个整数，k是任意整数。到目前为止，数学家只证明了当2