解不等式的技能

 指以解一元一次不等式组为基础，用把不等式进行同解变形的方法来解一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数与对数不等式、含绝对值的不等式等的技能。它是数学中最基本的技能之一，在解决现实世界量与量之间的大小关系问题中是不可缺少的。
 解不等式技能训练的基本要求和注意点是：①熟练掌握不等式基本的同解变形：不等式的移项，两边乘相同正数得同向不等式，两边乘相同负数得异向不等式。②熟练掌握一元一次不等式组的解法。③会利用数形结合的直观手段。④懂得解不等式必须每步用同解变形(因为不等式的解通常有无穷多个，无法一一检验),有些不等式要同解变形为不等式组。⑤熟练掌握一元二次不等式的解法：它总可化为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0(其中a>0)的形式。当△=b²-4ac>0时，ax²+bx+c>0化为a(x-x₁)(x-x₂)>0(其中x₁2),解为x1或x>x₂,ax²+bx+c<0化为a(x—x₁)(x-x₂)<0,解为x₁2。当△=0时，ax²+bx+c>0化为a(xx₀)²>0,解为x≠x₀;ax²+bx+c<0无解。当△<0时，ax²+bx+c>0为绝对不等式，ax²+bx+c<0无解。⑥会解一元高次不等式f(x)>0(或<0)。它总可同解变形为：
 (x-a₁)^t₁ (x-a₂)^t₂…(x-a_k)^t_k>0(或<0)(其中a₁2<…k)(这当f(x)在实数域上的标准分解式可求得时，总能办到，注意f(x)的任一个二次不可约因式x²+px+q,(其中p²-4q<0),始终大于零),这时可用数轴标根法简单地解出。在数轴上标出g(x)=(x-a₁)^t₁ (x-a₂)^t₂…(x-a_k)^t_k的根a₁,a₂,…a_k显然g(x)在它的单根或奇重根左右变号，而在偶重根左右不变号，于是容易得出不等式的解。例如：解(x+1)x(x-1)³(x-2)²(x²+x+1)>0,画出
 即知解为-12。
 ⑦会解分式不等式。要先移项化为p(x)/Q(x)>0(或<0)的形式，再化为p(x)Q(x)>0(或<0)来解。⑧会解无理不等式。应先同解变形为整式不等式组，然后求解，如

 ⑨会解指数、对数不等式。可利用换元或指数、对数函数的单调性，化为代数不等式求解。⑩会解含绝对值的不等式的关键，是根据绝对值的概念同解变形成不含绝对值的不等式：当a>0时，|x|22⇔-a |x|>a⇔x²>a²⇔x>a或x<-a
 有些含绝对值的不等式，为脱去绝对值号还需要分段讨论。此外，由＝|f(x)|可知，含绝对值的不等式可转化为无理不等式，有些无理不等式也可转化为含绝对值的不等式。