蒲莞问题Puguan wenti

《九章算术》盈不足章第11题为：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。问几何日而长等。”书中的解法为：“假令二日，不足一尺五寸。令之三日，有余一尺七寸半”，于是，本来一个相当复杂的问题就化成了盈亏类问题而求得近似解；蒲、莞长度在26/13日时相等，均为486/13寸。考察这一解法的原意，相当于假定这两种植物的生长速度每一天都与前一天不同，但在同一天中均是不变的。这显然是把实际问题大大地简化了。
如果我们假定，蒲的生长速度随着时间的推移而均匀地变慢。莞的生长速度随着时间的推移而均匀地变快，问题将不可避免地涉及指数方程的求解。设x天二者长度相等， 根据题意，
蒲生x日长度为 6 (1-1/2x),
莞生x日长度为 -1+2^x
因而得方程
-1+2x=6-^6/2x
化简得
(2^x)²-7 (2^x) +6=0。
解得2^x＝6, 于是x=log₂6≐2.58496。
在《九章算术》的时代，人们当然还没有认识到这种超越方程问题，也就不可能给出精确的解答。于是只好借助于假设与检验。根据已知条件，共察蒲、莞每天的长度，可知，经过1天，蒲长30寸，莞长10寸，莞比蒲短20寸；经过2天，蒲长45寸，莞长30寸，莞比蒲短15寸（不足）；经过3天，蒲长521/2寸，莞长70寸，莞比蒲长171/2寸（盈），于是断定二者必定在第三天的某个时候长度相等(2盈不足章第12题是另一个著名问题“两鼠对穿”：“今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢、各穿几何。”我们请读者按照盈不足术求解这一问题