莫森数mesenshu

指具有特殊形式M_p＝2^p-1的整数，其中p是素数.若M_p也是素数，又称为莫森素数.如M₂＝2²-1=3,M₃＝2³-1=7,M₅＝2⁵-1=31,M₇＝2⁷-1=127，都是莫森素数，但莫森数M₁₁＝2^{11-1=2 047=23×89不是莫森素数.
素数竞赛已经进行了好几个世纪，许多数学家都在争夺发现已知的最大素数的荣誉.现在这场竞赛可以说是在沿着单一的途径进行着，这就是去发现新的更大的莫森素数.这是因为，一方面它与偶完全数有着一一对应的关系，发现一个莫森素数就同时发现了一个偶完全数；另一方面，更重要的是通过发现新的莫森素数，可达到发现已知最大素数的目的.到目前为止，已经知道31个莫森素数，即当p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1 279,2 203,2 281,3 217,4 253,4 423,9 689,9 941,11 213,19 937,21 701,23 209,44 497,86 243,110 503,132 049,216 091时，M_p都是莫森素数.前面12个莫森素数是靠笔算得出的，以下19个则是借助于电子计算机陆续发现的.其中第25个M₂₁₇₀₁和第26个M₂₃₂₀₉是由两名在校大学生发现的.第31个是目前最大的一个莫森素数M_216091=2216091-1是1985年发现的，它有65 050位.而在1989年6月，经检验才知M₁₃₂₀₄₉是第30个莫森素数.
利用费尔马定理可以推出莫森数的素因数的下述性质：莫森数Mp的所有素因数都具有2pt+1的形状，其中t是一个正整数.
利用这个性质可以判定莫森数何时是素数，例如，我们来判定M₁₃＝213-1=8 191是不是素数.如果M₁₃是合数，它必有不大于≈91.5的素因数.再根据上述性质，M₁₃的素因数一定具有26t+1的形状.满足这样两个条件的素数只有53和79，经过检验，它们都不能整除M₁₃，因此可以判定M₁₃是素数.
又例如，判定M₂₃＝223-1=8 388 607是不是素数.根据上述性质，M₂₃的素因数具有形状46t+1.47是这种形状的第一个素数，但47|M₂₃，即}

M₂₃＝47×178 481,

于是M₂₃是合数.
是否有无穷多个素数p，使M，为素数，还是尚未解决的数论难题.