良驽相逢Liangnuxiangfeng

在中国古代，盈不足术不仅被用来求解各种复杂的线性问题， 也被用来解决更为困难的非线性问题， 对前者用这种方法可求得精确解， 对后者则是近似解， 《九章算术》 中的“良驽相逢”以及“蒲莞问题”（参见该条）等就是极为精彩的例子。
《九章算术》盈不足章第19题是：“今有良马与驽马(注：能力低下的马)发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行 一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何。”书中的解法是：“假令十五日，不足三百三十七里半；令之十六日，多一百四十里。”然后根据盈不足公式求得其近似解： 二者在15日相逢，良马行4 534里，驽马行1 465里。容易看出，良马、驽马各日所行的里数分别构成一个递增等差数列和一个递减等差数列， 问题的关键是解决这两个等差数列的求和问题。在公元3世纪数学家刘徽对此所作的注释中，明确地给出了以下的求和公式（我们用今天的记法）:
其中a₁为首项，d为公差，S_n表示前几项和。根据这一公式，立即可以求得，经过15日，良马所行为4 260里，驽马所行为1 4021/2里，二者共行5 6621/2里，但实际上它们应该在合作跑完6 000里时才能相逢， 因此， 这时尚不足3371/2里。经过16日， 良马所行为4 648里，驽马所行为1 492里，二者共行6 140里，因而超过140里。至于良马与驽马所行距离之和y的变化规律，按照今天的观点，认为良马、驽马分别作匀加速与匀减速运动， 记时间为x, 则有
是一个二次函数。令y=6 000, 可解得
《九章算术》利用盈不足术求解，相当于假定在同一日内，良马与驽马的速度都是不变的，从而给出的x=15(=15. 7068)只是近似解。至于良马与驽马在相逢时各自所行的里数，可以十分容易地依《九章算术》中的观点(认为在第16日二者的速度是不变的)或依现代观点(认为在第16日二者分别按匀加速与匀减速运动) 求得， 我们请读者完成这一计算。