假设检验

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根据随机变量总体x的样本对关于x分布的一个统计假设做出接受或拒绝的判断的一类统计推断。

设x的分布函数F(x；θ)的函数形式已知，而θ为未知参数，θ的取值范围为参数空间，根据对x作的n次观察值x₁，x₂，…，x_n，对关于θ的一个陈述句"₀"(是的一个子集)做出接受或拒绝的判断问题，即为参数假设检验。称待检验的陈述句H₀∶"#"为拟定假设(或原假设)，与H₀相反的陈述句H"，称为对立假设(或备择假设)。假设检验也可能是关于分布的假设检验问题，如F(x；θ)的函数形式未知，需要判断是否和某一已知分布函数F₀(x)一样，或需要判断两个分布函数F₁(x)、F₂(x)是否相同等。

对拟定假设H₀做出接受或拒绝的判断，应先确定样本空间到只包含两个元素的集合{拒绝，接受}上的一个对应规则，在这个对应下，如果样本空间中的点(x₁′，…，x_n′)对应著"拒绝"，则当得到样本(x₁″，…，x_n′)时就拒绝H₀，只要将对应于"拒绝"的点明确了，就确定了一个对应规则，即一个检验方法，因为不对应"拒绝"，就意味著对应"接受"。

一切对应于"拒绝"的点组成样本空间的一个区域S，称之为拒绝区域(或临界区域、判别区域)。

样本点x是否落入拒绝区域S是有一定的概率的。

有时即使拟定假设H₀实际上正确，而x却落入S而导致拒绝H₀，这就犯了一种错误，犯了"弃真"错误，常称为第Ⅰ型错误，犯这种错误的概率常记作α，即P{拒绝H₀|H₀为真}=α，α称为显著性水平。自然希望将α取得比较小，如取α为0．05、0．01等，α取定后即可确定拒绝区域S。当H₀不正确时，也可能由于而导致接受H₀，这也是一种错误，即所谓"存伪"错误，常称为第Ⅱ型错误，犯这种错误的概率常记作β。当然，也希望β较小，但实际上，在一定的样本容量条件下，要同时减小α和β是不可能的，减小其中一个，另一个就会增大。

假设检验问题中拟定假设只含一个点，或对立假设中也只含一个点时，称只含一个点的假设为简单假设，否则即为复合假设。从拒绝域的设置情况看，如总体均值μ的检验中，H₀∶μ=μ₀；H₁∶μ≠μ₀的假设检验为双边检验；H₀∶μ=μ₀；H₁∶μ＞μ₀(或H₁∶μ＜μ₀)的假设检验为单边检验。

从临界区域看，在α固定不变的各临界域中，能使β为最小的，称为最佳临界域。又若对立假设为复合假设，β小于α时，则依此所定的临界域为无偏临界域。若临界域满足无偏、又满足最佳条件，即为最佳无偏临界域。