结构关系模型structural relationship model

在古典线性回归模型中，一般假定自变量X是非随机的。但在不少情况下，自变量可能是随机的。这时，X的取值x₁,x₂，…，x_n本身就是随机变量，当一个统计量 （如回归系数） 涉及这些x时，该统计量的分布就应该结合x₁,x₂，…，x_n的分布去考虑，而不能把它们看成常数。在实际问题中，x为随机的情况，可以分为两类： (1)(x,y) 是一个从总体中随机抽得的个体上的某些指标值。身高和体重就是一个典型的例子。对这情况来说，x、y的地位可以说是平等的，只是由于指标的具体含义、问题的着重点不同或出于其他原因，才把其中的一个变量 (Y) 突出来作为因变量。(x,y) 的样本，就是从该总体中随机抽取的个体的指标，即(x₁,y₁)，…，(x_n,y_n)，一般可以假定它们是独立同分布。(2) 由于控制不准或测量不准带来的测量误差，使自变量x成为随机的。在这种情况下，虽然x、y同属随机，其本性却有所不同。Y的随机性是因为自变量X中不包括影响Y的所有因素，因而X值不能惟一决定Y值。而X的随机性纯来自测量。相比起来，测量误差在一般应用中不甚重要，故为一般目的，可以把X视为非随机变量。但当X的测量误差大到可以与Y的随机性相比的程度或Y的随机性主要也是来自测量误差时应该重视其非随机性： 在应用所要求的限度内，X-Y其实是有严格函数关系。对这种结构关系模型的研究，是近几十年来数理统计学研究的一个热门话题。