素数的个数Sushu de geshu

素数以其概念的极为简单和性质的极为复杂， 自公元前6世纪的毕达哥拉斯学派以来一直吸引着各个时代的杰出数学家，而有关素数的第一个方法巧妙、论证精彩的定理，当推欧几里得对“存在无穷多个素数” 这一命题的证明。
由于希腊人一般避免直接使用无穷这一概念，《几何原本》第9卷第20命题采用了这样的叙述方式：“预先任意给定几个素数，则有比它们更多的素数。”这里的“几个”，应该理解为“任意有限多个”，为了证明这一命题，需要用到《几何原本》第7卷第31命题：“任一合数可被某个素数量尽（即整除）。”有了这些预备工作，我们可以欣赏欧几里得对上述命题的证明了。把欧儿里得的证明翻译成今天通用的数学语言， 过程大致如下：
设p₁,p₂，……，p_m是预先给定的任意m个素数，考虑一个数a=p₁p₂……p_m+1。a或者是素数，或者不是素数。
(1)如果a是素数，那么就给已知素数又添了一个素数， 它显然不同于p₁, p₂, ……， Pm中任何一个。
(2)如果a不是素数，根据第7卷第31命题，a有一个素数因子p。p不能等于p₁,p₂, ……，p_m中任何一个。否则， 设它是p1, p2, ……，pm其中之一， 由于它整除p₁p2……p_m，于是它整除1(因为1=a-p₁p₂……p_m), 这是不可能的。
于是在任何情况下我们都获得了一个新的素数。
用这种方法， 我们能得到任意多个素数。
换言之， 素数的个数是无穷的。
欧几里得的上述工作， 被誉为早期数学证明中的典范，既简单，又巧妙。试图证明这一命题的较自然的途径是寻找任一已知素数后面紧跟着的那个素数。但是，由于素数序列的极端的无规则性，所作的这种尝试是不可能成功的。欧几里得的证法，绕过了这一障碍，改用某一个大得多的素数p去代替已知素数的下一个素数。
作为素数序列复杂性的一个证据， 可以利用欧几里得的方法证明在素数序列中有着很大的间隙， 即素数之间的间隔可以超过我们指定的任意上限， 只要我们注意到，对于任意大的自然数n，以下连续的n个自然数都是合数就可以了：
(n+1)! +2, (n+1)! +3, ……， (n+1)! +(n+1)。这个问题和欧几里得的问题在性质上和证法上都有相似之处。当然，关于素数序列中的间隙问题，古希腊人并没有研究过， 它是近代数学家在研究大量其他有关问题时得到的。这些问题中的大多数是不容易的，有些至今仍未能解决，而有些则把我们引到数学的若干新领域。