生物系统的数学模型与模拟

生物系统的数学模型是生物系统或过程中各个变量间的数量关系的表达式。将数学模型设置到电子计算机中，并进行运算，以达到对系统定量了解的过程称为数学模拟（或仿真）。
模型的建立 在应用控制论解决生物医学问题时，建立相应的数学模型是一项基础性的工作。可以用不同的方法建立生物系统的数学模型； 在控制理论中常用黑箱方法建立模型。黑箱方法是把研究对象看作是一个不能打开的（黑）箱子，只从输入与输出间的数量关系去把握对象(参见“生物控制论”条)。可以把整个系统看作是黑箱，也可把系统的一部分看作是黑箱。一般是通过实验方法，从输入输出数据中去求得数学模型，如用频率特性测试法，可求出系统的传递函数(参见“生物控制系统分析”条)。近年来，多转向建立有关生物系统动态过程的微分（或差分）方程为主要形式的数学模型，即以已知的生理、生化数据及支配此过程的物理、化学规律为依据，建立有关的变量之间的方程式，然后通过实验或数学模拟加以验证，还可通过系统辨识，求出数学模型中的参数。
生物系统的结构通常是极复杂的，而且存在非线性环节。为了便于分析与应用，常常需要对数学模型进行简化，即突出一些主要因素和作线性化处理。在简化时，最好使模型与系统同构，即数学模型中各变量与实际系统变量有一一对应关系。线性化和简化的数学模型，仅是对生物系统的初步近似；但只要简化合理，也能得到所需的结果。数学模型的建立，通常要通过反复的修改，其建立过程可归纳为如图1所示的模式图。

图1 建模过程模式图

数学模拟 生物系统的数学模型一般都较复杂，有许多非线性环节，不能用解析方法求解，因此，大都应用电子计算机模拟，以取得有关的生物系统的动态和定量结果。
❶电子模拟计算机模拟： 电子模拟计算机由以运算放大器为中心的部件所组成，每一个部件完成一种运算，如积分、微分、放大、非线性函数等，通过接线联在一起去完成数学模拟中的运算，各变量与模拟机相应输出电压有一定比例关系。模拟机比较容易使用，运算速度高，参数改变容易，但精度较低，不易实现复杂问题的运算。在五十至六十年代，生物系统的模拟研究多数采用模拟计算机；
❷电子数字计算机模拟： 其变量都用数字量来表示，基本元件只能作四则运算及简单的逻辑运算，通过程序把数学模型中所需运算化为数字机内的简单运算过程而实现模拟。数字计算机精度高（决定于字长），可以解决复杂问题，但在使用前要先编制程序。在数字计算机发展初期，程序要求专门人员编制，医生不易应用。近年来，随着数字计算机的发展和普及，而且又逐步发展了专供模拟动态过程用的程序语言，生物系统的模拟研究已多采用数字计算机进行。此外，还可采用模拟数字混合式计算机，它具有模拟机与数字机的优点，适合于系统模拟用，但其价格比数字机高得多。
大多数建立了数学模型的生物系统都进行了数学模拟研究，数学模拟已成为研究复杂生物系统动态的重要工具，主要的生理系统都已有较详细的电子计算机模拟程序，如循环系统已有包含大约400个方程式的整个循环系统的计算机模拟程序。数学模型与模拟的研究是从医学的基础研究开始的，现正逐步发展到解决临床医学中的问题，如用于输液控制的最优方案的选择； 用血清中肌酸磷酸激酶(CPK)的动态过程估计心肌梗塞量；用免疫系统模型模拟乙型肝炎的临床表现等。
体温调节系统的数学模型与模拟 体温是人体主要的内环境之一，由反馈控制保持相对稳定。体温调节系统由控制器（下丘脑中的体温调节中枢）、受控对象(血管的舒缩，肌肉颤抖，汗腺开合)和反馈元件（体表温冷觉感受器及中枢对血流温度的感受器）组成。而控制量为体温（主要指核心体温）。系统中各环节的定量关系可用图2方框图表示。图2是一个简化的模型，其中受控度量仅有核心体温和体表体温，并假定在体表仅冷觉感受器对体温调节起作用，在体温超过33℃时，来自皮肤的反馈为零，即不起作用。图中冷觉感受器的动态响应用传递函
数K·1+T1S/1+T2S表示，它具有微分性质，在体温变化时
有较明显的效应。中枢对被控对象的关系认为只有不同的非线性变换，而忽略神经传导的延迟和变换的动态过程。不同部分体温间，以及与环境温度间的关系，由各部分的热容量和热传导系数决定。T0为核心体温，Ts为体表体温，Ta为环境体温。GV为体表与核心(深部肌肉、血液、内脏等)间的热传导系数，随血管的舒缩而变，并受体温中枢控制。Ce为核心的热容量。He,Hc,Ha分别表示发汗散热、 代谢产热和环境热源。He为运动或其他原因造成的附加产热，Ga为体表通过辐射、对流、传导而形成的向环境的热传导率。假定中枢有维持所要求体温的给定装置，给定值与反馈体温信号的差值为ε，而ε通过如图的非线性关系产生相应的控制，则在已知上述

图2 体温调节系统的模型
各参数数值的条件下，不难写出相应热平衡方程，即此调节系统的数学模型。将此模型在电子计算机中进行模拟，可以得到在不同情况下的结果。
图3表示由计算机模拟得到的两个结果。(a)为突然改变环境温度时，体表温度的动态变化； (b)中速步行时(代谢产热率Hew=140cal/s)体表温度的变化。这些结果与在人体的实验结果相符合，可用于：
❶预测在极端情况下体温可能引起的变化；
❷研究低温麻醉时体温下降的规律，从而确定合适的降温措施；
❸为冷觉感受器在体温调节中起主要作用的假设提供证据。此外，此简化模型可以作为包括循环、呼吸、体温调节等在内的整体生物系统模型的一个组成部分。为更精确地得到有关人体体温调节过程的数据，可以建立更加复杂的数学模型，例如将人体划分为头、躯干、臂、手、腿、脚等六大节段，每一节段又分为四层(核心、肌肉、脂肪与皮肤)，加以中心血温，共25个体温变量，并考虑体内不同部位之温、冷觉感受器的作用，各部分间有不同热容量及热传导率。

图3 体温调节系统模拟结果

数学模型及模拟方法在医学上的应用 数学模型与模拟方法可应用于医学的基础与临床研究的许多方面：
❶阐明生物体调节控制的机理和生理、病理机制，例如用模型与模拟方法研究病态呼吸系统，提示由肺到脑血流传送时间增加和中枢对CO₂的敏感性的增大是引起潮式呼吸的主要原因；
❷解决临床医学的问题，例如用模型和模拟方法，从患者的血浆总蛋白、血清中Na浓度、尿量、尿中Na量及水和电解质的有效出纳量，计算任何时刻后细胞内外液总量、血浆量、血中Na、K、Cl浓度、尿量、尿中Na、K、Cl量及动脉压等的动态变化，从而可以确定最好的输液方案；
❸为人体环境有关的工程设计提供重要数据。例如对体温调节系统的模型与模拟研究，可取得在宇航条件下人体体温调节要求的数据，为宇宙飞船中人体温保障系统的设计提供依据；
❹生物医学的教学中，数学模型与模拟方法可反映人体生理、病理的各种表现，通过模拟及屏幕显示或绘图输出，使学生较直观地了解各个生理系统的情况及各种参数对生理过程的作用。目前，对人体的各个生理系统都已建立了相应的数学模型，而对于同一系统为了不同的实际目的，已建立了繁简不同的数学模型。例如为治疗糖尿病，可用较简单的只涉及血糖及血中胰岛素两个变量的血糖调节数学模型；但为研究机体内的糖代谢过程，就应当建立包括肝脏对糖元的合成与分解和外周糖利用过程等的较复杂数学模型。生物系统是多层次的系统，各个结构层次都可应用数学模型方法研究。除生理系统外，药物代谢动力学系统、细胞动力学系统的数学模型也已有较深入的研究。