环论

一个环是一个集合R，其中有两个合成运算，叫作加法和乘法，对有序对a,b,a,b∈R，其结果分别用a+b和ab表示，这两个合成法则满足：(1)a+b及ab属于R（闭合）;(2)a + b=b + a（交换律）;(3) (a+b) + c=a+ (b + c)（结合律）;(4)在R中有一个元0叫零元，对R中任意a，适合a + 0 = 0 +a;(5)对R中任意元a，在R中有一个a的负元—a，适合a+ (—a)=0;(6)(ab)c= a(bc);(7)a(b + c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca（分配律），满足以上条件的代数系即叫环，环论研究的就是具有这些性质的代数系。环论概括了数学各分支中很多基本的特例，如它包括整数环、有理数环、实数环、复数环和各种不同的函数和矩阵环等。环是现代代数中重要概念，其理论和方法在数学许多分支中都有应用。