20世纪30年代形成的数学分科。综合地运用分析的、代数的和几何的观点和方法，研究无限维空间上的函数（也称泛函）、算子理论及其应用。起源于经典数学物理中的变分问题、边值问题。主要内容有拓扑线性空间(特别是巴拿赫空间，希尔伯特空间)及其算子理论，广义函数论，非线性泛函分析等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学，连续介质力学，量子物理学等学科中都有应用。
泛函分析
是研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论的一门分析数学，是数学许多分支的内容和方法的统一处理，它概括了变分法、微分方程与积分方程、实变函数论、函数逼近论、算子理论中的某些个别的论证，并给出了一般的论证方法，表现了数学方法的本质的内在联系。所谓算子，也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。所谓泛函数即指，给定任意两个集合X和Y，给定一个法则f，假如对每一元素x∈X，依f可唯一确定y∈Y和它对应，则称在X上定义了一个抽象函数或算子y=fx，其值域包含在Y内，若算子的值是实数，则称该算子为泛函数。泛函分析的特点是，它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这个概念和方法几何化了。泛函分析的主要内容包括拓扑线性空间及其算子理论、广义函数论、非线性泛函分析等，它在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学中都有广泛的应用。它虽形成于本世纪30年代，但目前已发展成一门理论完备、内容丰富的数学学科了。