期望效用函数Expected Utility Function

亦称“冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数”(VNM函数)。如果某个随机变量X以概率P_i取值x_i,i=1,2，…，n，而某人在确定地得到x_i时的效用为u(x_i)，那么，该随机变量给他的效用便是：U(X)=E\\=P₁u(x₁)+P₂u(x₂)+…+P_nu(x_n)。其中，E\\表示关于随机变量X的期望效用。因此，U(X)称为期望效用函数，期望效用函数失去了保序性，不具有序数性。该函数是20世纪50年代美国数学家约翰·冯·诺依曼和美国经济学家奥斯卡·摩根斯坦在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具建立的在不确定条件下对理性人选择进行分析的框架。

期望效用函数

见“冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数”。

期望效用函数Expected Utility Function

又译作预期效用函数。反映随机事件与其效用的对应关系且满足预期效用性质的消费者效用函数。这一理论是由诺伊曼 (Von Neumann) 和莫根施特恩 (O. Morgenstern) 在《对策论和经济行为》 (1944年) 一书中提出的。他们证明，在某些情况下，能够对特定的消费者建立一组数字，这组数字可以用来预测消费者在风险情况下的选择。考虑只有两种结果的随机事件 （如抽彩）,L=(p,A,B)表示一个抽彩，以概率p得到结果A，以概率(1-p)得到结果B。预期效用性质是指效用函数U=U(x)满足：
U(L)=pU(A)+(1-p)U(B)，且若L₁≥L₂，则有U(L₁)≥U(L₂)

根据预期效用定理，若(L,≥)满足以下五条公理，那么存在一个定义于抽彩空间L上的效用函数满足预期效用性质。
(1) 理性公理： 偏好关系满足完备性、自反性和传递性。
(2) 连续性公理： 若A≥B≥C，则必定存在某个概率p(0

B～(p,A,C)

(3) 独立性公理：
若L₁＝(p,A,C),L₂＝(p,B,C),A≥B，则L₁≥L₂
(4) 不相等概率公理：
若A >B,L₁＝(p₁,A,B),L₂＝(p₂,A,B)，当且仅当p₁>p₂时，L₁>L₂
(5) 复合抽彩公理：
设L₁＝(p₁,A,B),L₂＝(p₂,L₃,L₄)，其中L₃＝(p₃,A,B),L₄＝(p₄,A,B),L₂是复合抽彩，其奖品是彩票，若p₁＝p₂p₃+(1-p₂)p₄，则L₁～L₂
这一公理表明，消费者评价彩票只是根据得奖的可能性，而不是根据他参加了多少次抽奖。上述公理描述的消费者行为模式是很普遍的，很难以它们对消费者行为施加了不合理的限制为理由而反对他们。然而它们排除了某些似乎是合理的行为，如连续性公理和复合抽彩公理排除了总是喜欢 “确定的东西” 或总是偏好赌博这样的行为。
与普通的效用函数不同，预期效用函数的任何正单调变换可能改变排序结果。但在递增线性变换下，预期效用的排序是不变的。对行为满足上述五个公理的人，预期效用公式可以用来为其构造效用数字。对两种确定的结果A₁和A₂任意指定效用数字。例如，若A₁>A₂，则设U(A₁)=20,U(A₂)=1000，现在考虑A₃，若有A₂>A₃>A₁，则问消费者p为何值时，他对A₃和(p,A₁,A₂)是无差异的。若p=0.8，解得U(A₃)=0.8U(A₁)+0.2U(A₂)=216。如果对A₄来说，A₄>A₂>A₃>A₁，问消费者p为何值时，A₂～(p,A₁,A₄)。若p=0.6解得U(A₄)=2470。这一过程可以无限继续下去，只要满足诺伊曼—莫根施特恩公理，就不会产生矛盾的结论。
预期效用具有某些（但不是全部）基数测度的性质。如果

U(A)= kU(B)

断言消费者对A的偏好k倍于对B的偏好是没有意义的。效用比率在线性变换时不是不变的。若V(A)=a+bU(A),V(B)=a+bU(B),a,b是正的常数，则：

但是效用数字提供了一个差距尺度，效用数字之间的差额是有意义的，这是因为效用数字差额的相对大小对线性变换是不变的：

与普通效用一样，人际之间的预期效用比较仍然是不可能的。
〖参〗效用函数

期望效用函数expected utility function

用以表达在不确定情况下的偏好关系。在消费者理论中，消费者在他的预算限制下选择一个使其效用最大的物品向量。有时消费者要选择的不是一个确定的物品向量，而是一个不确定的前景。这一不确定的前景可比作一张彩券。 一般地，一张彩券可记为p°x+(1-p)°y，即以概率p获得物品向量x，以(1-p)的概率获得物品向量y，记所有彩券的集合为L。
设消费者的偏好关系满足如下3个性质：
❶完全性。对L中任何两张彩券A、B，或者A≳B，或者B≳A，或者A～B。
❷返身性。对所有A∈L，有A≳A。
❸传递性。对L中任何3张彩券A、B、C, 如果A≳B, B≳C, 则A≳C。 于是， 如果在L上存在一个函数u(·)，满足
p°x+(1-p)°y≳q°w+(1-q)°z⇔u(p°x+(1-p)°y)≥u(q°w+(1-q)°z)及
u(p°x+(1-p)°y)=pu(x)+(1-p)u(y)，则称u(·)为关系≳的期望效用函数。可以证明，在很一般的条件下，期望效用函数是存在的。