曲线和方程quxian he fangcheng

在直角坐标系中，若曲线C上的点和一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
❶曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；
❷以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则方程f(x,y)=0叫做曲线C的方程；曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线（或图形）.
满足条件❶说明曲线C上无杂点，即满足纯粹性的要求；满足条件
❷说明方程f(x,y)=0没有遗漏曲线C上的点，即满足完备性的要求，两个条件缺一不可.
平面解析几何研究的基本问题是：
❶根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；

❷通过方程，研究平面曲线的性质，画出曲线.
已知曲线求它的方程，指的是依照构成某一曲线的点的共同性质，求反映所有这样的点的横、纵坐标之间的关系的方程的方法，其主要步骤是：
❶建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；

❷写出适合条件p的点M的集合P={M|p (M)}，即把曲线看作是适合于条件p的点M的轨迹；

❸用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0;

❹化方程f(x,y)=0为最简形式；

❺证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，若化简的过程都是方程的同解变形的过程，证明一般省略不写，但对特殊情况，应当予以说明.
由已知方程画出它的曲线，一般用描点法，主要步骤是：
❶解已知方程f(x,y)=0，用x表示y(或用y表示x);

❷在变数的允许值的范围内，给x(或y)以一系列的实数值，求出y(或x)的对应实数值；

❸以这些对应值为坐标画点，再把这些点连结成光滑的曲线，就得到方程的曲线.
为了能够正确而迅速地画出方程的曲线，应在画图前对方程进行讨论，以便掌握曲线的一些性质和曲线的大致轮廓，对方程的讨论，可以有以下几点；
❶求曲线在坐标轴上的截距 在曲线方程f(x,y)=0中令y=0，求出x的实数根，就得到曲线在X轴上的截距，同样，在方程中令x=0，求y的实数根，就得到曲线在Y轴上的截距.

❷讨论曲线的对称性 在曲线方程f(x,y)=0中，若以-x替代x而方程不变，则曲线关于Y轴对称；若以-y替代y而方程不变，则曲线关于X轴对称；若以-x替代x，同时以-y替代y而方程不变，则曲线关于原点对称.

❸讨论曲线的范围 在曲线方程f(x,y)=0中，x取哪些实数值时才能使y有确定的实数值（不要求唯一）和它们相对应；y取哪些实数值时才能使x有确定的实数值（不要求唯一）和它们相对应，找出这样的x和y的取值范围，就可确定曲线存在的范围.
总之，在曲线和方程之间建立上述的关系后，研究曲线的几何问题就可以转化为研究方程的代数问题，这就是平面解析几何的主要特征和方法.曲线和方程是平面解析几何的基本内容，在理论上，它是基础；在应用上，它是工具，反映了解析几何的研究的指导思想.