方差非线性nonlinearity in variance

许多经济类时间序列数据，诸如股票价格、外汇汇率等，经常呈现从一个时间段到另一个时间段的变化规律。在某些时间段，观测误差相对小一些，在另一些时间段观测误差相对大一些，然后再到一个时间段观测误差又小一些。这种情况显示，观测误差的方差呈现某种相关。如果一时间序列的随机误差ε_i的条件方差与前几次观测的误差项构成非线性函数的关系，则称该时间序列存在方差非线性。
假设一个时间序列X_t可以表示为：

X_t＝f(ε_t,ε_t-1,ε_t-2，…)

其中随机误差项ε_t,ε_t-1,ε_t-2，…具有零均值和单位方差，f(·)是某个未知函数。经研究发现X_t总可以表示成下式：

X_t＝g(ε_t-1,ε_t-2，…)+ε_th(ε_t-1,ε_t-2，…)

其中g(·)表示X_t以过去信息为条件的条件均值，即E_t-1[X_t]=g(ε_t-1,ε_t-2，…);X_t随ε_t成比例的变动，h(·)表示比例系数。h(·)的平方就是X_t以过去信息为条件的条件方差。即：

E_t-1[X_t-E_t-1[X_t]]²＝h²(ε_t-1,ε_t-2，…)

带有非线性函数h²(·)的模型就称为方差非线性。
著名的自回归条件方差(ARCH)模型就属于方差非线性模型，该模型最早是由Engle提出来的。该模型的简单形式为：

X_t＝ε_t(αε_t-1²)^1/2

在该模型中g(·)=0;h(·)=(αε_t-1²)^1/2