探求轨迹的方法tanqiu guiji de fangfa

由于第二种类型轨迹命题的结论中未指出轨迹的位置和大小（如果有大小的话），第三种类型轨迹命题未指出轨迹的形状、位置和大小（如果有大小的话），因此，在解这两类轨迹题时，首先要根据题设条件把轨迹的形状、位置和大小（如果有大小的话）推测明白，从而确定图形的形状、位置和大小（如果有大小的话） (参见“轨迹命题的三种类型”).这一步工作通常称为轨迹的探求.探求轨迹常用的方法是：
❶描迹 按照已知条件，选择适当的方法，作出相当数量的适合条件的点，然后连成光滑的曲线，以观察轨迹的大概形状和位置.这种作图过程叫做描迹.描迹时应注意下面几个问题：
其一，动点的位置有时变化得慢，有时变化得快.变化快的地方往往不容易看清楚，所以对于变化快的地方要多加些点，以便观察轨迹的形状、位置和大小（如果有大小的话）.
其二，考虑轨迹的图形是否有对称情形，这对推测轨迹的形状和位置是很有帮助的.
其三，要注意有无极限点的产生，若有，应把它描出来，对于了解轨迹的形状会起一定的作用.
其四，轨迹的临界点有限制轨迹的作用，发现了它，往往可以定大局，所以一定要设法把临界点描出.
其五，轨迹上时常有特殊的点与轨迹的形状、位置和大小有关系，凡是这类点要特别标明.
极限点、临界点、特殊点可以看做轨迹上的静点，其他的点看做动点.当我们把一些静点掌握之后，其他动点往往就被烘托出来，于是轨迹的大致情况也就了解了.这叫做“动中求静，以静窥动”，这是探求轨迹的一个很重要的法则.

❷轨迹形状的鉴定 除了用描迹的方法探求轨迹的大概形状，有时也可根据基本图形固有的属性来鉴定轨迹的形状.在平面几何范围内所讨论的轨迹分开来看不外是直线、射线、线段（或线节）、圆、圆弧、孤立点六种.这些图形具有下面的特点：
其一，直线、射线都可伸向无穷远，线段（或线节）、圆、圆弧、孤立点则不然.
其二，射线、线段（或线节）、圆弧都有端点，直线和圆则无端点.
利用基本图形的这些性质，可以帮助我们大致鉴定轨迹的形状.例如我们若能断定轨迹在一区域内而且无端点，即可推测是圆；若能伸到无穷远但有端点，轨迹大概应该是射线，至于线段（或线节）与圆弧虽然都有两端，但线段上的点应是共线的，而圆弧一定是无三点共线，所以只要取三四个点观察，就可辨别出来.
根据六种图形具有的特点中的其一，我们还可以建立三条鉴定轨迹形状的原则：
其一，若轨迹由某两直线的交点组成，可看这两直线在给定的条件是否能够平行，如果平行，就表示轨迹可伸向无穷远，这时轨迹是直线或射线；若不然，轨迹一定是线段、圆、圆弧等.
其二，若轨迹的点属于某变动图形，可看这图形变动时是否能把该点带到无穷远，如果能，轨迹是直线或射线；否则，是线段、圆、圆弧等.
其三，先设想轨迹的点一旦趋于无穷远时，已知条件会发生什么变化，然后看题设的条件能否容许这种变化.如果题设不容许这种变化，便知道轨迹一定在有限范围内；如果题设容许这种变化，而且该点在这种情况下确能伸向无穷远，则轨迹是直线或射线.

❸轨迹的定位 轨迹形状经鉴定之后，还需进一步定位.几种基本图形的定位条件如下：
其一，轨迹是直线的只须知两点或一点及方向即可.
其二，轨迹是射线的只须知端点及另一点或端点及方向即可.
其三，轨迹是线段（或线节）的只须知两端点即可.
其四，轨迹是圆的只须知圆心及半径，或一直径，或一弦及所对圆周角，或三点即可.
其五，轨迹是圆弧的只须知两端点及内接角或两端点及另一点即可.
其六，轨迹是孤立点的只须确定它的位置.
例如，设三角形有一内角固定，夹这个角的两边之和为定长，求过定角的顶点且与对边平行的直线与三角形外接圆交点的轨迹.

已知 在△ABC中（如图）,∠A位置固定，边AB+AC=l为定长，AP∥BC且与⊙ABC交于P.
求P点的轨迹.
探求 当AB=AC=l/2时，AP是⊙ABC的切线，这时P点与A点重合，所以A点应是轨迹上的点.当C点趋近于A时，B点趋近于一点B′，这点符合A^B′＝l.同时⊙ABC也趋近于极限位置——通过A,B′两点又切AC于A，因而P点趋近于B′.又因为P点不能到∠BAC的内部，所以P必于B′处停歇，即B′是临界点.同理，在射线AC上取AC′=l,C′点也是临界点.由此推测，P点的轨迹可能是以B′,C′为端点而通过A的一段圆弧，可以通过纯粹性和完备性两个方面证明P点的轨迹确是以B,C为临界点的.