指数曲线拟合

指数曲线亦称指数生长曲线。双变量资料中，当观察值X越增大，观察值Y就随之增加（或减少）得越快。这类资料可拟合指数曲线，并用拟合的指数曲线方程来分析两变量之间的关系。拟合方法常用最小二乘法或目测法。
指数曲线方程的一般形式为

式(1)是对数形式，式(2)～(4)是指数形式。指数曲线的形状可概括为八型，见图1。图中平行线条表示曲线与其渐近线的距离。图下为其方程的形式，其中Ⅰ～Ⅳ型Y变量为对数，故渐近线与X轴平行； Ⅴ～Ⅷ型X变量为对数，故渐近线与Y轴平行。方程中的K是由拟合曲线时经尝试得到的。

ⅠlgY=a+bX
ⅡlgY=a-bX

Ⅲ lg (K-Y) =a+bX
Ⅳ lg (K-Y)=a-bX

Ⅴ Y=a-blg(K-X)
Ⅵ Y=a-blgX

Ⅶ Y=a+blg(K-X)
Ⅷ Y=a+blgX

图1 八型指数曲线

最小二乘法 步骤如下：
(1)将资料在方格坐标纸上绘散点图，并从图1选出与观察点趋势相似的方程形式。
(2)直线化。按方程的形式所示，将资料在半对数纸上绘散点图。若点子不呈直线趋势，则在取对数的每个变量值上加K或减K，再作散点图。给定不同的K值，如此反复尝试，直到点子的直线趋势最好，即得最适当的K值。
(3) 求方程。将资料按X与Y成对列出； 再按选定的方程形式及直线化时所得K值，将变量值作相应变换；用变换值以最小二乘法求直线方程，并写成对数或指数形式。
(4) 求Y值。以适当的X值代入所得方程求Y值。(5)作图。 以各(X、 Ŷ)值作点，用曲线板将各点连成光滑的曲线。曲线与各观察点的纵向距离近，表示拟合得好。必要时作曲线的拟合优度检验。
目测法 按资料性质，曲线必须通过某定点时； 或在直线化过程中若资料的大部分观察点的直线趋势已较明显，但有的观察点却有较大偏离，用改变K值难以进一步提高效果时，可采用目测法拟合曲线。即在上述第(2)步的基础上，直接在半对数纸上根据观察点作一目测直线，然后在线上任选两个距离较远而又便于读数的点子，用两点式建立直线方程。设两点坐标为(X₁,Y₁)和(X₂,Y₂)，代入式(5)，化简得直线方程，即曲线方程的对数式。

例1 以不同温度X对醋柳果汁加温3小时，测其维生素P的破坏百分比Y，结果见表1第(1)、(2)栏，试拟合指数曲线。

表1 拟合指数曲线（最小二乘法）

温度(℃) X (1)	破坏率(%) Y (2)	Y+5 (3)	lg(Y+5) (4)	Ŷ(%) (5)
60 80 100 120	0.8 6.5 20.5 45.9	5.8 11.5 25.5 50.9	0.7634 1.0607 1.4065 1.7067	0.75 6.95 19.85 46.68

绘散点图见图2各观察点，对照图1，观察点呈图1Ⅰ型指数曲线形状，其方程形式为

lgY=a+bX,

因此Y取对数尺度，X取算术尺度，在半对数纸上绘散点图，得图3圈点。圈点尚未呈直线趋势，试取Y+5再绘图，得图3黑点，呈很好的直线趋势，故K=5。于是，按表1第(1)、(4)栏，各对X与y=lg(Y+5)，用最小二乘法求直线回归方程。

图2 表1数据拟合指数曲线

图3 图2观察点的直线化

此方程的对数形式为

lg(Ŷ+5)=-0.1947+0.0159X,

其指数形式为Ŷ=10-^0.1947+0.0159x-5,

或 Ŷ= 0.6387(1.03729)^x-5。

将X=60,80,100,120分别代入上式， 得各Ŷ，见表1第(5)栏。 以各(X,Ŷ)值绘点，连成曲线即图2的曲线。
例2 某地1963年调查得儿童年龄（岁）X，与锡克试验阴性率(%)Y的数据见表2第(1)、(2)栏，试拟合指数曲线。

表2 拟合指数曲线（目测法）

年龄（岁） X (1)	阴性率(%) Y (2)	97.5-Y (3)	Ŷ(%) (4)
1 2 3 4 5 6 7	57.1 76.0 90.9 93.0 96.7 95.6 96.2	40.4 21.5 6.6 4.5 0.8 1.9 1.3	57.1 78.1 88.1 93.0 95.3 96.5 97.0

绘散点图，见图4各观察点，与图1 Ⅳ型曲线形状相似，其方程形式为

lg(K-Y)=a-bX。

经尝试K=97.5。在半对数纸上以表2第(1)、(3)栏数据作散点图，见图5。图上七个点子，已基本呈直线趋势，但最后三个

图4 表2数据拟合指数曲线

图5 图4观察点的直线化

观察点偏离于直线的两边。因此就在图5上作一目测直线。在直线上读得两点： (1,lg40.4),(4,lg4.5)，代入式(5)得
化简得

lg(97.5-Y)=1.9241-0.3177X。

将X=1,2，…7分别代入上式，得各Y值，见表2第(4)栏。以第(1)、(4)栏数据绘点，连成曲线，见图4曲线。