拉普拉斯方程Laplace equation

描述在各向同性均质多孔介质（土壤）中饱和水流运动的椭圆型二阶偏微分方程。它表示在三维空间内水势梯度二阶偏导数的总和为零，它有无限个解，求定解时必需满足初始条件和边界条件。当采取直角坐标系统时，该方程可表达如下：式中：▽为三维向量微分算符，式▽²＝0表示水势梯度在三维方向上二阶偏微分。该式的推导：由达西方程一般表达式(q为通量，k为饱和导水率，为水势梯度，负号表示水流方向向水势降低方向流动)和连续流方程联合得出。将达西方程在三维条件下表达式代入连续流方程得出：

当土壤水分饱和时，所有土壤孔隙为水分充满，土壤含水量θ即为饱和含水量θs，它应与土壤总孔隙度在数值上相等。因此，水流经单元体土壤的出入水量不随时间改变，即上式也可写成式中：Kx、Ky、Kz代表在三维方向上x、y、z的导水率。当土壤为均一介质条件下，导水率K在各方向上相同，即Kx=Ky=Kz，上式可消去导水率（或饱和导水率各向相同），即可得出拉普拉斯方程。

拉普拉斯方程

形如的偏微分方程。更一般的形式为(ρ是已知函数)叫泊松方程。当拉普拉斯方程的解具有连续的二阶偏导数时，称为“调和函数”。在研究重力场，静力场，磁场以及一些物理现象的平衡或稳定过程时，常得到这些方程。

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拉普拉斯方程

不存在自由电荷分布的区域中静电场电势所满足的线性微分方程。参见“数学”中的“拉普拉斯方程”。