投入—产出分析

利用投入—产出表和数学方法来分析和研究国民经济各部门之间相互联系 （生产和消费） 的数量关系的经济计量方法。投入—产出分析的理论基础是经济发展均衡论，即国民经济各部门之间的依存关系在数量上应该是平衡的； 其研究工具是数理统计和线性代数。投入—产出分析一般分为三个步骤： (1) 把国民经济各部门按投入 （纵向）、产出 （横向） 列成矩阵形的投入—产出表，统计某一时期各部门的投入产出情况； (2) 把投入—产出表中的实际数量依存关系抽象化，并用若干个线性方程式来描述，构成数学模型；(3) 通过矩阵运算，计算出反映各部门之间生产联系的完全消耗系数。投入—产出分析目前已发展为静态模型和动态模型两种。上面讲的是静态模型，即在一个时点上来考察国民经济各部门间的数量关系。所谓动态模型就是引进了时间因素、发展速度等。它更接近经济的实际过程，但在方法上还不够成熟。有些国家（如前苏联）还研究把投入—产出模型与数学规划方法（线性规划和非线性规划）结合起来，建立一个满足一定约束条件而使某一目标函数达到最优的模型。

投入—产出分析input-output analysis

投入—产出分析是由美国著名经济学家W.W.里昂捷夫在1951年创造的一项经济分析技术。它常被用来分析工业间的相互关系，以理解经济各部门间的相互依存和复杂性以及在供给与需求间维持均衡的条件。它也被称为工业部门相互关系的分析。
投入产出分析表明，在整个经济体系中，各工业部门存在着相互依存的关系，一个工业部门的投入是另一个工业部门的产出，反过来也是一样，一个工业部门的产出又是另一个工业部门的投入，结果，这种相互关系最终导致整个经济的供给和需求的平衡。
进一步说，投入—产出分析是一般均衡的变种，它有三个主要成分或特点：第一，它涉及处于均衡状态的经济，不能把它应用于局部均衡分析；第二，它本身不涉及需求分析，它论述生产的技术问题；第三，它以经验调查为基础。
在投入产出分析中，以投入产出表来论及特殊年份的整个经济的各部门间的相互关系问题，表明不同生产部门间的产品和劳务的流量作法，特别是工业部门间的产品和劳务流量价值。
为了理解设入—产出分析方法，这里以具有三个部门(工业、农业和最终需求部门) 的经济为例说明一下投入—产出分析的基本特征。
下表就是一个该经济的三个部门间的投入产出表：

购买部门

	部门	1 向农业 的投入	2 向工业 的投入	3 最终 需求	总产 出或 总收益
销 售 部 门	农业 工业 增加值 总投入 或总 成本	50 100 150	150 250 100	100 150 0	300 500 250
		300	500	250	1050

增加值为向生产要素的支付

在这个投入产出表中，农业、工业和最终需求 （家庭）部门的总产出量由横行列出，并把它们划分为农业部门、工业部门和最终需求部门。这些部门的投入则以纵列列出。第一横行的总量表明，农业的总产出量为价值300美元，其中的100美元，直接进入最终消费，如第一行的第三列的数字所表明的。农业部门的其余产出，有50美元作为投入为本部门所用，150美元用于工业部门的投入。同样，第二行则表明工业部门价值为500美元的总产出或总收益的分配，该横行的第一、二、三列的数字表明，价值为100美元的工业制造品作为投入进入农业部门，价值为250美元的工业造品作为投入为工业部门应用，价值为150美元的工业制造品进入最终需求，即为家庭部门所消费。
自从纵列上看，第一列的数字表示农业部门的投入或成本结构。价值为300美元的农业产出是以价值为50美元的农产品、价值为100美元的工业制造品和价值为150美元的劳动及其他生产要素生产出来的。换言之，在这里以300美元的成本取得300美元的农业收入。同样，第二列的数字则表明工业部门的投入结构(150美元+250美元+100美元=500美元)。第三列即最终需求列表明归于消费的数量。该列第三行的数值为零，表明家庭部门仅是一个支出部门，它本身不销售任何东西。
从投入—产出表中可以看出有两类表明和决定一个经济借以进行活动的方式的关系：(1) 内部稳定性或该经济的每个部门的平衡； (2) 每个部门的外部稳定性或部门间的关系。里昂捷夫称这类关系为“基本的平衡关系”和“结构关系”若用数学方法来表示这些关系，可称之为“平衡方程”(balance equatious) 和“结构方程”(structural equations)。
若把工业i的总产出量xi划入许多不同工业部门 (1,2,3，…，n)，即不同工业部门各以工业i的产出的一部分作为其投入，那么，便有如下的平衡方程：

Xi=Xi₁+Xi₂+Xi₃+…+Xi_n+Di (1)

若在工业i的产出量Xi中有一定数量Yi被工业体系以外的部门吸收，那么工业i的“平衡方程”就变成如下的方程：

Xi=Xi₁+Xi₂+Xi₃+…+Xi_n+Di+Yi

或者

sum from j=1 to n Xij+Yi=Xi (2)

需要指出，2式中的Yi代表工业i的产品流向消费、投资、出口、净进口的数量（满足包含有国外经济关系的最终需求），也被称为“最终货单” (final bill of goods)，是产出的函数。平衡方程表明，需求和供给的平衡条件，也表明产出量从一个工业向其他工业的流出，或从其他工业向强工业的流入。
由于Xi₂代表由工业2吸收工业i的一定数量的产出，那么，同理，Xij便代表工业j吸收工业i的一定数量的产出。由此，还可以引申出工业i的“技术系数”(technical coefficient)或“投入系数”(input coefficient)。表示这种“技术系数”或“投入系数”的方程，便是“结构方程”，如下式所示：

(3)

在方程 (3) 中，Xij是从工业i流向工业j的量，Xj为工业j的总产出量，aij即为工业i的“技术系数”或“投入系数”，亦即其“流出系数”。“技术系数”表明，其他工业为生产一单位的产出量需要多少该工业的产出量。由此，结构方程便表明，一个工业的产出量被所有工业吸收的情况，从而显示出整个经济的流量结构。一个经济有多少工业部门便有多少表明各工业的“技术系数”的结构方程。结构方程的数量反映该经济的现存的技术条件。
由一个具有n个部门的投入—产出表可知，该经济的“技术系数”矩阵由n×n个成分组成。就只有两个部门，工业和农业的经济而言，便有2×2个成分组成的“技术系数”矩阵。如下表所示：

两个部门的技术系数矩阵A

	农业	工业
农业 工业	a11 a21	a12 a22

应用上面的方程 (3)，并代入上面给出的两个部门 (工业，农业) 的有关数值，便可得出以数字表示的两个部门的“技术系数”矩阵。

技术系数矩阵A

	农业	工业
农业	50/300=0.17	150/300=0.5
工业	100/300=0.33	250/300=0.5

还可以应用投入—产出表来测量任何部门在最终需求的总产量中的变化对整个经济的直接和间接的影响。
将上述的方程 (3) 变形，可得：

Xij=aijXj

把Xij的值代入方程(2)，移项，可得如下的基本投入—产出方程体系：

对两个部门来说，有两个线性方程，可写作如下：

X₁-a₁₁X₁-a₁₂X₂＝Y₁X₂-a₂₁X₁-a₂₂X₂＝Y₂

上面的关系可以用矩阵形式表述：

X-[A]X=Y X[I-A]=Y

这里的矩阵 [I-A] 被称为里昂捷夫矩阵。
由上面的距阵可得：

[I-A]^-1[I-A]X=[I-A]^-1Y X=[I-A]^-1Y
(∵[I-A]^-1[1-A]=I)

上述的情形属于投入—产出分析的静态模型。把这个静态模型加以一般化，便得到投入—产出分析的动态模型。在动态模型中，既定时期的工业部门的产出被假定进入存量，即资本品，并依次把这个存量在各个工业部门间分配，由此，形成以下的“平衡方程”：

Xi(t) =Xi₁(t) +Xi₂(t) +Xi₃(t)+…+Xi_n(t) +(S′i₁+S′i₂+S′i₃+…+S′i_n) +Di(t) +Yi (t) (4)

在这里，Xi (t) 代表工业i在时期t的总的产出流量，这个产出流量被用于如下三个目的： (1) 用于该经济的n个工业部门的生产，即Xi₁(t),Xi₂(t),Xi₃(t) 等等； (2) 用于n个工业部门资本品存量的增加，即S′i₁,S′i₂,S′i₃等，其总量可用S′i表示，还可把它写作 △Si(t) =Si (t+1)-Si (t)。在这里，Si (t) 为现期 (t) 积累的资本存量，Si (t+1) 为下一期的资本存量； (3) 用于下一期的消费需求 Di(t+1); 若我们不考虑损耗和折旧，那么，(Si (t+1) -Si(t))便是由现期生产而产生的资本存量的净增加，因此，上面的方程(4)可以写作：

Xi (t) =Xi₁+Xi₂+Xi₃+
…+Xi_n+Si (t+1)-Si (t)+Di (t) +Yi (t)

式中Yi (t) 为时期t工业体系以外的部门吸收的量。
证明在静态模型中所推导的技术系数一样，也可以用类似的方式求出“资本系数”(Capital coefficient)，工业j应用产品i的资本系数可以写作：

或者

Sij=bij·Xj (5)

这里，Sij为应用产品i的资本存量，Xj为工业j的总产出量，bij为资本系数或存量系数，方程 (5)则为动态模型的结构方程。
投入—产出分析作为一种经济分析技术，自里昂惕夫在50年代提出以后，受到了世界的普遍重视，得到了广泛的应用。