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字词 两条异面直线的距离
类别 中英文字词句释义及详细解析
释义 两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长,叫做两条异面直线的距离.

例 空间四边形ABCD,连结对角线AC和BD,E,F分别是BC,AD中点,AB=BC=CD=DA=AC=BD,如图(1)求证:EF是异面直线BC,AD的公垂线.

(2)设AB=a,求异面直线BC,AD间的距离.

策略 欲证EF是异面直线BC,AD的公垂线,已知EF与它们都相交,只要证EF与它们都垂直即可,这可通过已知条件构造等腰三角形即可实现.

证明 (1)连结FB,FC.

∵AB=BC=CD=DA=BD=AC,

∴△ABD≌△ADC且为等边三角形.

∵F为AD中点,

∴CF=FB(全等三角形的中线长相等),

则△FBC为等腰三角形,E为底边BC的中点,

∴EF⊥BC.

连结EA,ED,同理可证EF⊥AD,

又∵EF与AD,BC都相交,∴EF是AD,BC的公垂线.

(2)由(1)的证明知EF是AD、BC的公垂线.

∴EF的长就是这两条异面直线间的距离.

∵AB=a,在等腰△FBC中,FB=FC=

在Rt△BEF中,

EF2=BF2—BE2

即异面直线BC,AD间的距离为

点评 证明一条线段是异面直线的公垂线时要注意证明两点:
❶ 垂直;
❷ 相交.

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