幂函数mi hanshu

形如y=x^a的函数.这里x是自变量，a是一个给定的实数.a为整数时，y=x^a是有理函数；a为分数时，y=xa是无理函数；a为无理数时，y=x^a是初等超越函数.幂函数的性质依a不同而不同.
❶正整数指数的幂函数y=x^a.定义域为(-∞,+∞).当a=2k (k∈N)时，函数y=x^2k的值域为[0,+∞)，函数是偶函数，在[0,+∞)函数是单调增的，在(-∞,0]函数是单调减的，其图象过原点(0,0).函数y=x²,y=x⁴的图象如图1所示.当a=2k+1 (k∈N)时，函数y=x^2k+1的值域为(-∞,+∞)，函数是奇函数，在整个区间(-∞,+∞)函数是单调增的，其图象过原点(0,0).函数y=x,y=x³的图象如图2所示.

图1

图2

❷负整数指数的幂函数y=x^a，定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).当a=-2k (k∈N)时，函数y=x-2k的值域为(0,+∞)，函数是偶函数，在(0,+∞)函数是单调减的，在(-∞,0)函数是单调增的.函数y=x^-2的图象如图3所示.当a=-(2k+1) (k∈N)时，函数y=x^-2k-1的值域为(-∞,0) ∪ (0,+∞)，函数是奇函数，在(0,+∞)函数是单调减的，在(-∞,0)函数也是单调减的.函数y=x^-3的图象如图4所示.

图3

图4

❸正分数指数的幂函数y=x^p/q(p/q是既约分数)，当q为偶数时，函数的定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞)，在[0,+∞)函数是单调增的，图象过原点(0,0).函数y=x^1/2的图象如图5所示.当q是奇数，p为奇数时，函数y=x^p/q的定义域为(-∞,+∞)，值域为(-∞,+∞)，函数是奇函数，在整个区间(-∞,+∞)函数是单调增的，图象过原点(0,0).函数y=x^1/3的图象如图6所示.当q是奇数，p为偶数时，函数y=x^p/q的定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞)，函数是偶函数，在[0,+∞)函数是单调增的，在(-∞,0]函数是单调减的.图象过原点(0,0)，函数y=x^2/3的图象如图7所示.

图5

图6

图7

图8

图9

图10

❹负分数指数的幂函数y=x^-p/q(p/q为既约分数).当q为偶数时，函数的定义域为(0,+∞)，值域为(0,+∞)，在(0,+∞)函数是单调减的.函数y=x^-1/2的图象如图8所示.当q为奇数，p也为奇数时，函数y=x^-p/q的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，值域为(-∞,0)∪(0,+∞)，函数是奇函数，在(0,+∞)函数是单调减的，在(-∞,0)函数也是单调减的.函数y=x^-1/3的图象如图9所示.当q为奇数，p为偶数时，函数y=x^-p/q的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，值域为(0,+∞)，函数是偶函数，在(0,+∞)函数是单调减的，在(-∞,0)函数是单调增的，函数y=x^-2/3 的图象如图10所示.

❺无理数指数的幂函数 y=x^a(a是无理数).当a>0时，函数y=x^a的定义域是[0,+∞)，值域是[0,+∞)，它是增函数；当a<0时，函数y=x^a的定义域是(0,+∞)，值域是(0,+∞)，它是减函数.

幂函数

power function