差分平稳difference stationary process

虽然在实际中遇到的时间序列只有极少数属于平稳的，但大多数通过差分可转化为平稳的，就是将它们差分一次或多次后的新序列是平稳的。我们称这样的非平稳序列为差分平稳的，原序列在变换成平稳序列前差分的次数称作平稳化的阶数。这样，如果y_t是一阶平稳化的非平稳时间序列，则序列w_t＝y_t-y_t-1＝△y_t是平稳的。如果y_t是2阶平稳化序列，则w_t＝△²y_t＝△y_tt-△y_t-1是平稳的。
作为一阶平稳化非平稳过程的例子，考虑简单随机游走过程

Y_t＝Y_t-1+ε_t

其中ε_t～iid(0,σ_ε²)，即独立同分布且均值为0，方差为σ_ε²。让我们考察这个过程的方差

γ₀＝E(Y_t²)=E[(Y_t-1+ε_t)²]=E(Y_t-1²)+σ_ε²
＝E(Y_t-2²)+2σ_ε²＝…
＝E(Y_t-n²)+nσ_ε²

从这个迭代关系可看出：方差是无穷大，因而不确定。现在让我们考察随机游走过程差分一次的新过程

W_t＝△Y_t＝ΔY_t-Y_t-1＝ε_t

因为ε_t在时间上独立，w_t显然是一个平稳过程。这样，我们看到，随机游走过程是一阶平稳化随机过程。