大道定理turnpike theorem

大道定理所要解决的问题是，在经济增长理论中，从某一初始状态出发，在有限的计划期数内达到最优目标的经济成长轨道应该是什么样的。由于预定目标的不同，大道定理可分为两类：(1)以最后一期的财货存量最大化为目标，称为“最终资本存量大道定理”。以广义的冯·诺依曼模型为例说明。设(x,y)为一生产过程，x为期初的投入向量，y为期末的产出向量，所有可能的(x,y)的集合T称为生产集。设有N期计划，第T期的生产过程为(x_t,y_t)。设(x_t,y_t)·T,{x_t,y_t}^N即表示一条从初始状态x₀出发的经济增长轨道，其最终期(第N期)的产出向量为y_N。设y_N有一效用u(y_N)。在所有从X₀出发的经济成长轨道中，使u(y_N)最大的那条轨道称为最优轨道，记为{X_t*,Y_t*}^N。为了描述最优轨道的空间性状，引入均衡增长轨道的概念。一条轨道{x_t,y_t}^N，若对所有t都满足关系y_t＝ax_t,a为常数，则称之为均衡增长轨道。在适当的条件下，可以证明，在所有均衡增长轨道中存在一条使a最大的轨道，称为冯·诺依曼均衡增长轨道。大道定理证明，当计划期数相当大时，从x₀出发的最优增长轨道以大部分时间靠近诺依曼轨道运行。(2)消费大道定理，可以取新古典派总体增长模型来说明。此时总体增长基本方程为：

k_t＝f (k_t)-λk_t-x_t

其中x_t为人均消费量，k_t为人均资本量。称满足预先给定的边际条件k(0)=k₀,k(T)=k_T的(1)的解(x_t,k_t)为可行轨道。设对x_t有一定效用u(x_t)，则所有可行轨道中使经过贴现的总效用

最大的(x_t^*,k_t^*)称为最优轨道，其中ρ为贴现率。大道定理证明当计划期T相当大时，最优轨道(x_t^*,k_t^*)以大部分时间靠着一种金律轨道(x^*,y^*)运行。

大道定理

在多部门经济体系中存在着多条均衡增长路径，其中增长速度最快的一条称为“大道增长路径”或称为“冯·诺依曼路径”，这种现象被概括为“大道定理”。不同条件下就会有不同的大道定理。著名的有考虑联合产品的Radner-Nikaido定理、没有联合产品的Morishima定理、一般情形的Dorfman-Samuelson-Solow-McKenzie理论。大道定理的共同特点是，在一个T期的经济计划里，最优增长路径的轨迹是：从初始点位置移向增长大道，并继续沿着大道方向前进，只有到了计划期末才复归于计划的终点目标。因此，只要计划期时间足够长，停留和靠近增长大道的时间也越长。除非特殊情形，否则最优增长路径一定是沿着增长大道作非振幅减少的波动循环。对大道定理稍作修改便可得到中值大道定理(mean turnpike theorems)。用增长大道的贴现率折现，当计划期足够长时，最优增长路径的商品存量几乎等同于增长大道的商品存量。这一收敛理论被称为“中值大道定理”。它不存在上述循环的例外，尽管最优增长路径沿着增长大道波动，但是偏离的均值趋于零。以上模型仅假设了计划存量的最终目标，在计划期内没有任何消费，计划期内的所有产出都结转为下期的投入。这种仅满足最终状况条件的增长路径可称为“最终状况大道定理”(final-state turnpike theorems)。当计划的唯一目标是将特定商品遗留给为期尚远的子孙后代时，这一定理能够成立。可是，如果计划当局不得不考虑下一代人的福利时，就必须综合各代的福利。设存在一个效用函数表示计划期内不同消费和工作量组合的偏好次序，并且用主观的时间贴现率折算未来消费和工作量，其中时间贴现率应小于或等于增长大道的增长率。如果效用是由未来消费和工作量贴现值的平均值决定的，那么最优增长路径便是使效用最大的增长路径。由此我们可以建立消费大道定理：当计划期无限时，最优增长路径收敛于增长大道。一般来说，除非对生产技术条件加以严格的限制，否则最优增长路径可能永远都会在增长大道附近循环波动。但是，如果社会厌恶经济波动，消费大道定理可以避免循环波动。对强烈波动的厌恶感将消除每一个消费波动，最优增长路径将是每个人消费没有波动的增长路径。同样，我们可以建立消费中值大道定理，它也不存在循环波动现象。由此可见，消费的波动性可以消除，但产出的波动性仍然无法消除。

大道定理turnpike theorem

在经济增长理论中，从某一初始状态出发，在有限的计划期数内达到最优目标的经济成长轨道应该是什么样的？这就是大道定理要回答的问题。随着预定目标的不同，大道定理可分为两类：一类是以最后一期的财货存量最大为目标，称为“最终资本存量大道定理”，另一类是以整个计划期间的消费效用最大为目标，称为“消费大道定理”，分别举例说明如下。
关于最终资本存量一类的大道定理，现以广义冯·诺依曼模型(Von Neumann model)为例加以说明。设(x,y)为一生产过程，x为期初的投入向量，y为期末的产出向量，所有可能的(x,y)的集合T称为生产集。设有N期计划，第t期的生产过程为(x_t,y_t)。设(x_t,y_t)∈T,{x_t,y_t}^N即表示一条从初始状态x。出发的经济增长轨道，其最终期(第N期)的产出向量为y_N。设对y_N有一效用u(y_N)。在所有从x₀出发的经济成长轨道中，使u(y_N)最大的那条轨道称为最优轨道，记为{_t,ŷ_t}^N。 为了描述最优轨道的空间性状，引入均衡增长轨道的概念。一条轨道{x_t,y_t}^N，若对所有t都满足关系y_t＝αx_t,α为常数，则称之为均衡增长轨道。在适当条件下，可以证明，在所有均衡增长轨道中存在一条使α最大的轨道，称为诺依曼均衡增长轨道。大道定理证明，当计划期数相当大时，从x₀出发的最优增长轨道以大部分时间靠近诺依曼均衡增长轨道运行。
对于消费大道定理，可取新古典派总体增长模型来说明。此时，总体增长基本方程为（参看新古典派总体增长模型）。

_t＝f(k_t)-λk_t-x_t (1)

其中x_t为人均消费量，k_t为人均资本量。称满足预先给定的边值条件k(0)=k₀,k(T)=k_T的(1)的解(x_t,k_t)为可行轨道。设对x_t有一效用u(x_t)，则在所有可行轨道中使得经过贴现的总效用u(x_t)e^-ρtdt最大的(x_t,k_t)称为最优轨道，其中ρ为贴现率。大道定理证明当计划期T相当大时，最优轨道(_tt)以大部分时间靠着一种金律轨道()运行。