垂足三角形chuizu sanjiaoxing

连结非直角三角形三条高线的垂足的三角形.
如图1，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F，则△DEF叫△ABC的垂足三角形.不难证明，原三角形的垂心是它的垂足三角形的内心：由A,B,D,E四点共圆，知∠BED=∠BAD，即∠BED是∠ABC的余角.同理，由B,C,E,F四点共圆，知∠BEF=∠BCF,∠BEF也是∠ABC的余角.所以EB是∠FED的平分线.同理FC是∠EFD的平分线.

图1

图2

故△ABC的垂心O是△DEF的内心.若△ABC为钝角三角形，则垂心H为垂足三角形的旁心.如图2.