| 字词 | 四元玉鉴 |
| 类别 | 中英文字词句释义及详细解析 |
| 释义 | 四元玉鉴 先生遂发明《九章》之妙，以淑后学。为书三卷，分门二十有四，立问二百八十有八，名曰《四元玉鉴》。其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上。阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷，其于盈绌隐互、正负方程、演段开方之术，精妙元绝。其学能发先贤未尽之旨，会万理而朝元，统三才而归极，乘除加减，钩深致远，自成一家之书也。方今尊崇算学，科目渐兴，先生是书行将大用于世。有能执此以往，则古人格物致知之学，治国平天下之道，其在是矣。有志于学者，不可不服膺此书云。 元·莫若《〈四元玉鉴〉前序》 吾友燕山朱汉卿先生演数有年，探三才之赜，索《九章》之隐，按天、地、人、物立成四元，以元气居中，立天勾、地股、人弦、物黄方，考图明之。上升下降，左右进退，互通变化，乘除往来，用假象真，以虚问实，错综正负，分成四式，必以寄之，剔之，馀筹易位，横冲直撞，精而不杂，自然而然，消而和会，以成开方之式也。书成，名曰《四元玉鉴》,厘为三卷，以象三才；四元以象其时；分门二十有四，以象其气；立问二百八十有八，假象周天之数；玉者，比汉卿之德术，动则其声清越以长，静则孚尹旁达而不有隐翳；鉴者，照四元之形象，收则其緼昭彻而明，开则纵横发挥而曲尽妙理矣。 元·祖颐《松庭先生〈四元玉鉴〉后序》 【评】朱世杰的两位朋友记述了朱世杰著《四元玉鉴》的情况。 道统于天，淆于地，森布于人，散播于物。四者，理之权舆而数之纲纽也。宋、元间算学特显。据原序所云《益古》、《照胆》、《钤经》之言天元，《两仪群英集臻》之言地元，《乾坤括囊》之言人元，遗书阙轶，弗著于后。其推广三元以及于物元者，则有元朱松庭之《四元玉鉴》一书，实可以涵罗万象，枢纽众变。盖自《九章》以降，天元为数学之宗，而此编又为天元引而伸之，而立法以尽变，升降进退，纵横参伍，函盖众形，端倪万有，有隶首所未传，商高所未泄者，诚古今算学之巨观也。 清·张岳崧《四元玉鉴细草·叙》 右《四元玉鉴》三卷，元大德时朱氏松庭所著。是书久佚，故钱竹汀少詹补《元史·艺文志》误作二卷。世所传者，惟梅文穆公《赤水遗珍》有释“或问歌彖”二则，然又疑为术士秘其机缄。吾乡阮芸台节相抚浙时，访购是书进呈，遂得续入《四库》。复以副钞本属元和李四香演草，未果，而四香遽卒。钱塘何梦华因即据副钞本刊布焉。岁壬午，京兆试后，从叶云素给谏处获见是书，愿学未能。癸未春，假得黎斗一大令所藏钞本，又辱龚定庵主事见赠何刻本，互相研究，少涉唐陈，因思宋、元之际，言天元有《益古》、《照胆》、《钤经》及《如积释锁》诸书，言地元又有《两仪群英集臻》,言人元复有《乾坤括囊》,今皆不传。天元之学幸李仁卿《测圆海镜》、《益古演段》二书并行于世，其不绝者如线。四元则惟此仅存，吉光片羽，乌可使其复湮？是宜亟为补草。 清·罗士琳《〈四元玉鉴〉细草·记》 四元玉鉴 《四元玉鉴》是中国古代重要数学著作，宋元数学高潮的代表作之一。元朱世杰撰。大德七年(1303)刻于扬州，莫若序.祖颐后序。此刻本今不传。明至清中叶，吴敬、顾应祥、周述学、梅彀成等数学家都见过此书，是否读懂是有怀疑的，因此未引起重视。清乾嘉间整理古算风起，嘉庆间阮元在浙江访得此书，呈入四库，并将钞本嘱李锐(1768-1817)算校，锐临终前仅校数段，何元锡随即按钞本刊刻。此后沈钦裴、罗士琳、徐有壬、戴煦、李善兰、陈棠等都对本书作过深入研究。沈钦裴作《四元玉鉴细草》,有两种抄本，一为5册本，白桂贞、白焜道光元年(1821)抄，只草至卷中；一为6册本，为全帙，有沈氏道光九年(1829)自序。沈氏对四元消法及高阶等差级数求和问题都有很好的理解，某些方面远远超过后来的罗士琳，可惜其细草未能刊刻，影响不大，甚至有人认为不如罗氏细草。这两个抄本今藏北京图书馆。罗士琳道光初年开始研究此书的各版本，历10余年，撰《四元玉鉴细草》24卷，道光十七年(1837)刊行。罗氏提出校改130余处，并对每一问都给出详草，后来诸版皆宗于此，成为研究本书之必读作品，影响甚大，然对四元消法及对各高阶等差级数的解释，未能尽合朱世杰原意。李善兰作《四元解》(1845),亦不理想。陈棠作《四元消法易简草》(1899)对理解本书较有裨益。李俨、钱宝琮、严敦杰、杜不然等都对本书作过深入研究。本世纪以来还出现了若干用西方文字研究本书的著作。三上义夫、萨顿、李约瑟等用英文介绍过本书。赫师慎将假令四草译成了法文，谢元作出版了研究本书的法文专著。陈在新将本书译成英文，可惜未能出版。 朱世杰(生卒年不详),字汉卿，号松庭，燕( 一说燕山，今北京市或其附近)人。元统一中国后，以数学名家周游湖海20余年，踵门而学者云集。他继承宋元期间北方太行山两侧及南方长江中下游地区两个数学中心的研究成果，集中了中世纪中国数学成就之大成，著《算学启蒙》及本书，先后于大德三年(1299)、七年(1303)在扬州刊刻，在四元术即多元高次方程组解法、垛积术即高阶等差级数求和、招差术及乘除捷算法等方面贡献尤为突出。清中叶以来学者一致认为他兼秦(九韶)、李(冶)之长而在秦、李二家之上。他是中国古代最后一位有领先于世界的重大创造的数学家。 本书卷首首先列出4种图：今古开方会要之图，包含梯法七乘方图与古法七乘方图两幅，前者即增乘开方法之图示，盖增乘开方又称为递增开方、梯法开方，后者是一种9层8次方的贾宪三角。值得注意的是朱世杰用平行于两斜边的两组平行线将各廉联结起来，说明其用途不仅在立成释锁开方，亦用于高阶等差级数求和；四元自乘演段之图，即四元勾a、股b、弦c、黄方a+b-c的四种关系的乘积图示；五和自乘演段之图，即弦较和(b-a)+c、勾股和a+b、勾弦和a+c、股弦和b+c、弦和和(a+b)+c五种关系的乘积图示；五较自乘演段之图，即勾股较b-a、股弦较c-b、勾弦较c-a、弦和较(a+b)-c、弦较较c-(b-a)五种关系的乘积图示。接着列出四象细草假令之图，给出了 一气混元、两仪化元、三才运元、四象令元4个例题，分别是天元术、二元术、三元术、四元术的解题模式。这些图和题目都是举例发凡，贯穿全书的纲纪。 本书分3卷、24门、288问。卷上7门55问(含假令四草),直段求源18问、混积问元18问，都是各种田亩面积问题；端匹互隐9问，是有关罗、绫等织物的计算问题；廪粟回求6问，是谷物容积问题；商功修筑7问，是各种土木建筑问题；和分索引13问，是关于分数的各种运算。卷中10门，103问，如意混和2问，是难度较大的混合问题；方圆交错9问，是方田与圆田的混合问题；三率究圆14问，以古率π=3、微率157/50、密率(实际上应为约率)22/7计算有关圆与球的问题；明积演段20问、勾股测望8问，是有关勾股形及测望问题的计算问题；或问歌录12问，是以诗歌形式给出的计算问题，其中有二元术2问、三元术1问；茭草形段7问、箭积交参7问，在用天元术求解时都要用到垛积术；拨换截田19问是截割田亩的面积问题；如象招数5问，在用天元术求解时要用到招差术。卷下8门，110问。果垛叠藏20问，用天元术求解时要用到垛积术；锁套吞容19问，是各种图形相互交错，求所余面积；方程正负8问，都是先用方程术，后用天元术求解；杂范类会13问，是各种杂题；两仪合辙12问、左右逢元21问，是用二元术解决各种勾股及面积问题；三才变通11问，是用三元术解决的各种勾股问题；四象朝元6问，是用四元术解决的各种勾股问题。 本书全部用天元术、二元术、三元术、四元术求解，其中36问用二元术，13问用三元术，7问用四元术，其余232问都用天元术。天元术即设未知数天元列出现今一元方程的方法，二元术是设未知数天元、地元列出二元高次方程组并消元的方法，三元术是设未知数天元、地元、人元列出三元高次方程组并消元的方法，四元术是设未知数天元、地元、人元、物元列出四元高次方程组并消元的方法。天元术至迟在李冶(1192—1279)时代就有成熟的方法。据祖颐为本书所撰后序说，在天元术产生后，“平阳李德载因撰《两仪群英集臻》,兼有地元，霍山邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》,末仅有人元二问。吾有燕山朱汉卿先生演数有年，探三才之颐，索《九章》之隐，按天、地、人、物立成四元”,大体概述了自天元术到四元术的发展过程，可惜上述朱世杰之前的著作均失传。本书是现存中国也是全世界记载多元高次方程组的最早著作。四元消法，即多元高次方程组消去法是本书的突出创造。其程序基本上是将四元消成三元，将三元消成二元，再消成一元高次方程，用增乘开方法求解。到底如何消法，因本书提示过于简略，历来有争论，杜石然认为沈钦裴的解释更符合朱氏原意。四元消法，至今仍有应用价值。在欧洲，多元高次方程组消去法在1779年法国数学家别朱(Bézout)才有系统的叙述。然而，四元式采取常数项居中(以太字表示),天、地、人、物四元分列于太之下、左、右、上的布列方法，4个未知数占满了平面上4个方位，显然，无法考虑5个或更多的未知数的高位方程组，是其缺点。 本书提出的许多问题在用天元术解决时，必须用到垛积术，因此，高阶等差级数求和问题是本书的另一项重要成就。朱世杰在沈括、杨辉的基础上，解决了更高阶的等差级数求和问题。他的茭草垛、三角垛(或称落一形垛)、撒星形垛(或称三角落一形垛)、三角撒星形垛(或称撒星更落一形垛)、三角撒星更落一形垛的求和公式，形成了一个完整的系统：p=1,2,3,4,5,便是上述各垛积的求和公式。显然，前一式的前r项之和，恰恰是后一式的第r项，这正是朱世杰把后一垛称为前一垛的落一形垛的原因。同时，由朱世杰在贾宪三角上划的斜线看出，第p条斜线上前n个数之和恰恰是第p+1条线上的第n个数，这可能提示了上述垛积公式是由贾宪三角推得的。这串公式是朱世杰垛积招差问题的中心。朱世杰还解决了四角垛、岚峰形垛、三角岚峰形垛(或称岚峰更落一形垛)等垛的求和问题，也成为一系统，其求和公式为当p=1,2,3时便是上述诸垛的求和公式(p=1的情况出现在《算学启蒙》中)。本书还有一些更复杂的垛积求和问题。 本书的招差问题与垛积问题互为表里，也是最精彩的部分之一，在中国也是在全世界第一次给出了4次差的招差公式：其中△1、△2、△3、△4分别为一次差、二次差、三次差、四次差。本书明确指出，该公式中的各系数是三角垛的和，因此，人们认为朱世杰已经掌握了任意高次差的招差法。在欧洲，直到17世纪牛顿、格里高利才取得了同样的结果。 《四元玉鉴》元代杰出的数学著作。朱世杰撰，元成宗大德七年(1303)刊行。全书共3卷，分24门，288题。所有各题都与方程式或方程组有关。本书的突出贡献是发明四元术（高次方程组消去法）和多种高阶等差级数的有限项求和方法。这两项成果在中国数学史上占有重要地位，比国外数学界同类成果早400年。20世纪初，日本人三上义夫将本书介绍到日本。此后，国外又有英文译介。 四元玉鉴 217 四元玉鉴现存的最早介绍四元术的著作。元朱世杰仅传的两部杰作之一。1303年成书。3卷，24门，288问。该书系统阐述朱世杰的数学成就： 四元术、垛积术、招差术。卷首“古法七乘方图”列出由 (a+b)0到 (a+b)8展式的全部系数，是北宋贾宪“开方作法本源图”的推广。“四象细草假令之图”举例说明一元到四元高次联立方程组的布算方法。在“假令四草”等6门中，共收多元高次方程组56题，详论其消元方法。朱世杰的消元法是当时的世界性成就，早于西方同类成果近500年。有的方程，其项数之多、系数之大、次数之高(15次)为前所未有。足见其布算和消元技巧已达炉火纯青之境地。对高阶等差级数求和，书中给出了三角垛公式、岚峰形垛公式等一系列重要公式，并用于解决具体问题。中卷“如象招数”门主要讲招差术，并将其运用于高阶等差级数求和，给出了包括四次差在内的招差公式。可以认为朱世杰实际上已掌握了任意高次招差法。比欧洲同类成果早近400年。美国已故著名科学史家萨顿(G.Sarton)赞誉《四元玉鉴》为“中国数学中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。” ☚ 算学启蒙 直指算法统宗 ☛ 四元玉鉴 四元玉鉴古代数学名著。三卷。元朱世杰撰。朱世杰（生卒年不详），字汉卿，号松庭。原籍河北，寓居燕山（今北京市附近）。生活年代在十三世纪末到十四世纪初。一生从事数学研究和数学教育，尤其精通《九章算术》。曾周游四方达二十余年。大德三年(1299)编著《算学启蒙》三卷，分二十门，上卷八门，中卷七门，下卷五门。全书包括二百五十九个数学问题，由浅入深地详细叙述了从乘除法运算到开方、天元术等古代数学中的各种运算。书前列有“总括”一卷，列出了常用的数表、口诀和法则共十八项。后又编著《四元玉鉴》一书，根据其序文写于大德癸卯年(1303)，通常认为这就是成书年代。 ☚ 授时历 算法统宗 ☛ 四元玉鉴中国元朝朱世杰撰(1303)。全书分24门。用天元术或四元术解答了288个题目。 四元玉鉴三卷。元朱世杰（生卒年不详）撰。朱世杰字汉卿，号松庭，寓居燕山 （北京附近），他精通《九章》，旁通诸术，曾以数学名家周游湖海二十余年，四方来学者日众，到扬州时，踵门而学者云集，可见他是一位数学家和数学教育家，对宋元中算做了总结性工作，著有 《算学启蒙》三卷 (1299)，《四元玉鉴》三卷(1303)。清罗士琳认为：“汉卿在宋元间，与秦道古、李仁卿可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦、李之上。”《四元玉鉴》为论四元术和垛积术之杰作，书前有临川莫若在1303年写的序，书后还附有祖颐的后序。莫若的序文中介绍了四元术的内容：“《四元玉鉴》，其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷。”全书三卷，上卷六门七十一问，中卷十门一百零三问，下卷八门一百一十问，卷上之前有“四象细草”四问，全书共二十四门二百八十八问。在卷首有 “古法七乘方图”，上书“中藏皆廉，开则横视”八个字，指图中间部分各数，是二项式展开式各项的系数，而每一横行表示开某次方时应采用的系数。全书共有高次方程组五十余题，其中在“假令四草”“或问歌彖”“两仪合辙”“左右逢元”“三才变通”“四象朝元”等六门中，有二元的高次方程三十六题，三元者十三题，四元者七题。“四元术”首先解决了四元式筹算的摆法，这是在线性摆放的天元术基础上发展成为平面摆放。更为重要的是对四元方程组的解法，书中“四象细草假令之图”中所载的两仪化元、三才运元、四象会元三题，较详细地记述了消法，其主要步骤是：“剔而消之”即互隐通分相消，通过对某元系数反复施行乘法及减法以消去该元；“互隐通分相消”是一般二元方程组的消去法；“人易天位”，即将方程组以“太”为中心施行旋转；“内外行乘积相消”即二元二行式的消去法，这是四元消去法最后一步。显然消法中进行了多元多项式的加、减、乘等运算，但朱世杰未详细记载，消元最后得到的一元高次方程的解法，也无演草，演算过程不清楚。后来清代数学家沈钦裴、罗士琳均为之详演细草。在解方程无整根时，朱世杰继续用开方法以求其小数，或 “开之不尽命分”，或 “连枝同体术”，如在“端匹互隐”第一问、“和分索隐”第十二、十三问均有记载。朱世杰的消法是中算史上一项杰出成就，并具有世界意义。《四元玉鉴》卷中 “茭草形段” （共七题）、“如象招数” （五题）、“果垛叠藏”（二十一题）三门中所有问题都是已知各种垛积的物体总数，求垛积底层物体的个数，这是已知各种高阶等差级数总和反求其项数的问题，解决这些问题需要按照级数求和公式列出高次方程来。朱世杰利用垛积术，给出了三角垛和四角垛这两个基本系统及由此产生的岚峰垛系统和四角岚峰垛。例如茭草形段第五问给出茭草垛，第二问给出撒星形垛；果垛叠藏第一问给出三角垛，第六问给出三角撒星更落一形垛；如象招数第五问给出三角撒星形垛。这五个垛均属三角垛系统，其一个重要性质是：任取其中的相邻两垛，前一垛的和为后一垛的通项，亦即后一垛的和等于它的前(n—1)项和加上前一垛的和。在果垛叠藏第十三问朱世杰用到了杨辉的四角垛，第三问给出了四角落一形垛，这两个垛均属四角垛系统。若把三角垛公式通项乘以它的项数则得岚峰垛系统，例如茭草形段第三问给出岚峰形垛，第五问给出岚峰更落一形垛。四角垛及岚峰垛系统、四角岚峰垛的求和都可以由三角垛公式导出。在此结果上朱世杰建立了四次内插公式。如象招数最后一问自注中他附有一题并给出解法：“今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵，今招一十五方……，问招兵……几何？”他解道：“求得上差二十七、二差三十七、三差二十四、下差六。求兵者：今招为上积，又以今招减一为茭草底子积为二积，又今招减二为三角底子积为三积，又今招减三为三角落一积为下积。以各差乘各积，四位并之，即招兵数也。”这就是等间距四次内插法，其公式与现代公式基本一致。朱世杰在招差术的突出贡献是指出了招差公式中各项系数恰好依次是各三角垛的“积”，这在中算史及世界数学史上都具有创造性意义。另外卷中之九最后一题用到方程的常数项有二十位数字，卷下之七最后一题是三元联立方程，消去一元后得到共有二十七项的10次方程，再消去一元得15次方程。显见朱世杰解多元高次方程技巧十分娴熟。卷中之六“或问歌彖”载有十二个歌谣体算题，可谓我国此类算题的始祖。清代以来，对 《四元玉鉴》进行了较广泛的研究。李锐1816年注释了茭草形段问题的解法；徐有壬撰《四元算式》一卷(1822)；戴煦1820年演细草若干卷；沈钦裴于1829年完成六册稿本的 《四元玉鉴细草》，未刻，原稿本现藏北京图书馆； 罗士琳1834年撰成 《四元玉鉴细草》二十四卷； 李善兰 《垛积比类》四卷 (1867); 当代中算史家李俨《中国数学大纲》、钱宝琮《垛积术广义》、严敦杰《中学数学课程中的中算史材料》、杜石然 《朱世杰研究》对朱世杰的四元术、招差术、垛积术进行深入的探讨和研究，作出了应用的评价。《四元玉鉴》原刊本已佚，四库开馆未得此书，后阮元得抄本进呈清四库馆，并抄副本，又嘱何元锡刻版传世；丁取忠编《白芙堂算学丛书》共收算书二十三种，录 《四元玉鉴》，先后有八种刻本。 |
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