z变换

---

(1)z变换定义

采样信号与连续信号之间的关系为

对上式两端取拉氏变换，得

令z=e^Ts，则式(5．7－8)可写成

X(z)称采样信号x^*(t)的z变换。以［x^*(t)］表示对x^*(t)进行z变换，有时也使用符号［x(t)］，但其含义仍然是对其采样信号进行z变换。

(2)z变换表

常用时间函数的z变换和拉氏变换列于表5．7－1。

表5．7－1 常用时间函数的z变换

(3)z变换的基本定理

常用的z变换的基本定理列于表5．7－2。

表5．7－2 z变换的基本定理

(4)z反变换

由X(z)求x^*(t)或x(kT)称为z反变换。z反变换有下面三种方法：

A．幂级数展开法

如果X(z)是真有理函数或严格真有理函数，则可利用长除法把它展成z^－1的幂级数，即

根据X(z)的定义，z^－k的系数C_k就是x(kT)。这种方法适用于简单函数，但难以求得答案的封闭形式。

例1 对于

则x(kT)为：x(0)=0，x(T)=1，x(2T)=3，x(3T)=7，x(4T)=15，…。

B．部分分式法

当X(z)为z的有理函数，且其分母多项式能分解因式求出极点时，可以利用部分分式法把X(z)变成分式和的形式，然后再根据z变换表求出x*(t)或x(kT)。

说明：鉴于z变换表中的z函数的分子通常都含有z因子，因此，首先把X(z)／z展开成部分分式，然后将所得的结果，各项再乘以z，就得到X(z)的分式和的形式。当X(z)／z只含有单极点时，则有

式中，z_i是X(z)／z的极点，A_i是相应于z_i的留数，即

例2 对于

因为

则有

将上式去查表5．7－1得

x(kT)=2^k－1

于是，x(0)=0，x(T)=1，x(2T)=3，x(3T)=7，…

C．留数法

如果已求出X(z)的极点z_i，则可应用留数计算x(kT)，即

式中Res［·］表示函数在极点上的留数，z_i是X(z)·z^k－1的极点，i是极点数，k=0，1，2，…。应注意：当k=0时，X(z)z^k－1=X(z)z^－1，在原点可能有一个极点。若有此极点，则X(z)z^k－1在原点处的留数也应计算，并且把这点的留数x(kT)乘以δ(k)，此处δ(k)定义为

例3 对于

则有

根据式(5．7－13)则得

于是，x(0)=0，x(T)=1，x(2T)=3，x(3T)=7，x(4T)=15，…