同余的性质tongyu de xingzhi

❶若a≡b(modm),c≡d (modm)，则a±c≡b±d (modm),ac≡bd(modm)，特别ak≡bk(modm)，其中k为任一整数；an≡bn(modm).

❷若ac≡bc (modm)，且(c,m)=1，则a≡b(modm).这个性质称为同余的消去律.但要注意，当条件(c,m)=1不成立时，消去律不成立，例如，有7·2=4·2 (mod6)，但7≢4 (mod6)，因为这里(2,6) =2≠1.

❸若ak≡bk(modmk)，其中k>0，则a≡b(modm).

❹若a≡b (modmi),i=1,2，…，n，则a≡b(mod[m₁,m₂，…，mn]).特别，若m₁,m₂，…，m_n两两互质，则a≡b (mod m₁m₂…m_n).
利用同余的这些性质，可以简化求余数的计算.例如，求3⁸⁹被7除所得余数.解答这个问题的一个方法是重复地进行平方，得到3²＝9≡2 (mod7),3⁴≡2²≡4(mod7),3⁸≡42≡2 (mod7),3¹⁶≡2²≡4 (mod7),3³²≡4²≡2 (mod7),3⁶⁴≡2²≡4 (mod7).因为89=64+16+8+1，故得3⁸⁹＝3⁶⁴·3¹⁶·3⁸·3≡4·4·2·3≡5 (mod7).因此所求余数是5.本例可由费尔马定理进一步简化计算(参见“费尔马定理”).
利用同余的性质还可以推证某些一般的结论.例如，若p>3是一个质数，则p²≡1(mod24).
简单证明 因为p>3所以p≢0 (mod3)，即P≡±1 (mod3)
从而p²≡1 (mod3) (1)
又因为p>3是质数，故p是奇数.
设p=4k±1，则p²＝8(2k²±k)+1，即p²≡1(mod8).
由此并利用式(1)即得p²≡1 (mod24).