变异指标

变异指标又称离散指标，用以描述一组计量资料观察值之间参差不齐的程度，即离散度或变异度。设有以下二组数据，各包含五个观察值，均数都是10，但它们的离散度不同： A组较小，B组较大。

A:	8	9	10	11	12
B:	3	7	10	13	17

可见平均数只反映平均水平，还需用变异指标反映离散度，两者结合起来才能全面说明一组计量资料的特征。变异指标包括标准差、方差、变异系数、极差、百分位数间距和均差等。其中以标准差最常用，其次是方差和变异系数。标准差 又称根均方差。总体标准差σ是总体中各观察值X与总体均数μ之差平方后相加，即∑(X-μ)²（称离均差平方和），用总体例数N平均后的平方根。计算公式为

从式中可见，当N固定后，若各观察值离均数近，∑(X-μ)²就小，σ亦小，表示观察值参差小；若各观察值离均数远，∑(X-μ)2就大，σ亦大，表示参差大。标准差的单位与平均数的相同。由于总体均数不易得到，实际工作中常用样本均数X作为总体均数μ的估计值；用样本标准差s作为总体标准差σ的估计值，则

式中n为样本含量，n-1为自由度v。 由于用代替μ，可以证明∑(X-)²比∑(X-μ)²小，若用

计算标准差将偏小，为了克服此缺点，W.S.Gossett于1908年建议用n-1来代替分母中的n。当n很大时，n-1与n相差甚微，亦可用n作分母。
标准差可用于：
❶表示观察值的离散度；
❷结合均数描述正态分布特征；
❸计算标准误等。
计算标准差的方法有直接法、加权法和简捷法。
(1) 直接法： 将观察值之和的平方(∑X)2，观察值平方之和∑X²与n直接代入式(3)即得

用式(3) 计算的优点是不必先求出每个观察值与均数之差。由于均数常带小数，所以求差后再平方是很麻烦的。式(3)是由式(2)推导得来，所以同一资料用两式计算的结果相同。
(2) 加权法： 适用于有较多相同观察值的资料。加权就是将相同观察值的频数乘其观察值及观察值的平方，以代替逐个相加及逐个平方。计算公式为

式中f为各相同观察值的频数，其他同上。可见式(4)即式(3)的加权形式。
(3)简捷法： 适用于观察值个数较多并编成频数表的资料。原理与计算步骤：
❶在频数表中，以各组中值（本组下限与相邻较大组的下限之平均）代表本组各观察值，如表1第(3)栏。
❷先取一假定均数X0(见条目 “平均数”均数计算的简捷法)，然后将组中值X按式(5)变换为缩简值x，如表1第(4)栏，

式(5)中i为组距。
❸求各fx与fx2值，如表1第(5)、(6)栏，分别加总得∑fx与∑fx²。
❹按式(6)求s

例1 某市20个男婴的出生体重(g)如下，求其标准差。

2770 2272

2915 3503

2795 3418

2995 3921

2860 2669

2970 4218

3087 3707

3126 2310

3125 2573

4654 3881

例数不多，宜用直接法，按式(3):

20名男婴的体重标准差为629.1g。
例2 某地1301名大骨节病妇女的初潮年龄如下，求其标准差。

初潮年龄（岁）:	11	12	13	14	15	16	17	18	19	合计
例 数：	19	45	133	206	284	280	203	89	42	1301

相同年龄者很多，宜用加权法，按式(4):

该地大骨节病妇女初潮年龄的标准差为1.7岁。
例3 按表1第(1)、(2)栏资料，求其标准差。
表1 130例正常成年男子红细胞数用简捷法计算标准差
例数较多，已编成频数表，宜用简捷法，按式(6):

130例正常成年男子红细胞数的标准差为40.9万/mm³。
方差 即标准差的平方，符号为σ²或s²。计算公式为

由于总体方差不易得到，实际工作中常用样本方差作为总体方差的估计值。
变异系数 又称离散系数，即标准差与均数之比用百分数表示，符号为CV，计算公式为

变异系数是相对比，没有单位。因此它既可消除原资料平均水平不同的影响，也可消除原测量单位不同的影响，从而反映变异度的大小。常用于：
❶比较均数相差悬殊的几组资料的变异度。如人体发育期某些指标的均数与标准差往往随着年龄的增大而增大，似乎年龄大，指标的变异亦大，但若用变异系数分析，就可以看出青春发育期比其他年龄组的变异度大。
❷比较度量衡单位不同的几组资料的变异度，如例4。
例4 试比较表2中两种血象指标的变异度。能否说红细胞数的变异比血红蛋白的大。

表2 某地健康妇女255人的红细胞数和血红蛋白

血 象	均 数	标准差
红细胞数 (万/mm3)	417.8	29.1
血红蛋白 (g/dl)	11.76	1.02

红细胞数与血红蛋白的单位不同，因此不能按标准差的大小直接作出结论。应计算变异系数，按式(9)得

比较两变异系数，可见不能说红细胞数的变异比血红蛋白的大，而是血红蛋白的变异较大。
极差 亦称全距，即一组计量资料中最大最小两个极端数据之差，符号为Ro单位与原观察值同。极差是最简单的一种变异指标，应用颇广，如用于传染病和食物中毒的最短、最长潜伏期等。以极差反映变异度，较为粗略，因为：
❶除了最大值和最小值外，不能反映在此范围内的其他数据之离散度。
❷样本含量越大，极差可能越大，故样本含量悬殊时不宜比较其极差。
❸即使样本含量不变，极差的抽样误差亦较大。
在正态分布资料，极差与标准差之间有比例关系，其比值随样本含量n而改变(参见条目“极差分析”)。
例5 求例1资料的极差。
例1中最小值为2272，最大值为4654，则
R=4654-2272=2382(g)。
20名男婴体重的极差为2382g。
百分位数间距 同一资料中某两个百分位数之差称百分位数间距。单位与原观察值同(参见条目“百分位数”)。百分位数间距的性质类似极差，仅间距比极差小，故稳定性相对好些。
百分位数间距中，四分位数间距较多用，它是上四分位数QU(即第75百分位数)与下四分位数QL(即第25百分位数)之差，包括了全部变量值(共n例)中居于中间水平的一半，见下图。

四分位数间距示意

均差 因各观察值与其均数之差的代数和等于0，即∑(X-)=0, 于是取各观察值与均数之差的绝对值加总后平均，即为均差。均差作为变异指标已很少使用。计算公式为

变异指标

用来测定各变量值之间差异程度的统计指标，是评价平均指标代表性的尺度。变异指标有全距、修正距、平均差、方差、标准差等。其中，平均差、方差和标准差是离差指标，强调各变量值与其平均数的差别。变异指标中最重要的是标准差和方差。

变异指标

总体中各单位标志值之间差异程度的指标。又称标志变异指标、标志变动度、离散程度。其大小取决于平均数代表性的大小。变异指标大，即变量离散程度大，平均数的代表性就小。变异指标测定一般有极差（又称全距）、四分位差、平均差，标准差，变异系数等五种。测定的目的是揭示被平均数掩盖的标志值差异程度，查明总体的性质，分析和比较平均数的一般水平；可以控制产品质量、决定抽样方式和抽样数目、决定典型调查中的典型挑选。