单位分数Danwei fenshu

分子是1、分母是自然数的分数。它是人类最早认识的分数。产生于实际生活中对连续量的分割， 其起源可以追溯到原始社会中物品的平均分配， 其形成概念也至少可以追溯到文字出现的早期。在中国， 殷墟甲骨文(公元前14——前11世纪) 中已有“半”字， 春秋战国时代的金文中还出现了其他表示单位分数的文字， 如(1/3)、 (1/4)。在 《九章算术》中， 虽然早已有了一般的分数概念，但仍然在许多问题中使用了单位分数，例如少广章第11题就是已知一块田地面积为一亩，宽为1+1/2
长。在巴比伦、印度、希腊、阿拉伯的数学中，都曾使用过单位分数， 而最早发展起单位分数的较为完整的算法的， 是古代的埃及数学。除了被看作一个整体的
2/3之外，埃及人基本上只使用单位分数，如果遇到其
他分数则要化为单位分数之和。在莫斯科纸草书(约公元前1850年)和阿默斯纸草书(约公元前1650年)中已经广泛而熟练地运用了单位分数， 阿默斯纸草书中
可以把一切普通分数化为单位分数之和， 也可以利用这张表进行除法运算。书中还给出了相当于
的法则。
在古代， 运用单位分数解决食物分配和大地分配问题时有一点直接的好处：它给出了实际的分配方案。
应四等分，一个面包应八等分。但是，这种运算不仅十分繁琐而且需要有相当的技巧， 它给数学带来一种沉闷的性质，逐渐成为阻碍数学发展的因素。特别是注意到， 如果n是奇数， 则
它既可以算作已经完成了分解，也可以继续分解下去，因此，把任何一个真分数表示为单位分数之和，实际上可以有无穷多种方法。在阿默斯纸草书中，对每个形如
法， 而且也没有一定的原则来决定到底选取哪一种表示。例如

书中取了前一种， 但是对于

书中选取了最后一种，从各种标准来看，它并不是最优的。由于分解的任意性，对于已经表示为单位分数之和的两个分数，常常难以判断它们的大小，甚至对同一个分数的不同分解形式，也难以直接看出它们是相等的。
尽管如此， 单位分数直到今天仍然引起数学家们很大的兴趣， 因为由此产生出许多有趣的数论问题和猜想，其中有不少至今仍未解决。例如，已经证明：如
(m>0,n>0)能表示为两个单位分数之和的充要条件是： 存在正整数a和b, 满足

a|n, b|n, m|(a+b)

(其中，s|t表示t可以被s整除)。另一方面，任何一个形如4/n(n>1是奇数)虽然已经证明均可表示为不超过4个的不同单位分数之和， 但至今尚不知道它是否总能表示为3个单位分数之和， 对于形如5/n (n>1)的单位分数，也同样不知道是否总能表示为3个单位分数之和。
另外一个十分有趣的问题是： 把1分解为单位分数之和， 例如：
实际上，设Mp是一个默森尼素数(参见“默森尼数”)，那么
由于默森尼素数的个数是有穷的还是无穷的至今尚不知道，因此，1的这种分解方式到底有多少种也就不知道。
另外， 设
在这个不定方程的一切解(x₁,x₂, …，x_n) 中， 设xn的最大值为yn, 已经证明：
y3=6, y⁴⁼42, y₅＝1 806,
……，
yn+₁＝yn (yn+1) n≥3
然而， x_n的极小值是多少？ 这个问题至今尚未解决。