包络定理envelope theorem

最早在1931年由瓦伊纳(J.Viner)和王(Y. K. Wong)在讨论短期和长期平均成本曲线之关系时提出的，他们认为：长期平均成本曲线不仅总低于短期成本曲线，且通过每一条短期成本曲线的最小点。后来在1947年萨缪尔森(Samuelson)用一般方法证明，长期成本曲线就是短期成本曲线族的包络。考虑一个含单参数a的函数f(x,a)的无条件极值问题minf(x,a)。
对每一个a，上问题的解记为x(a)，设最小值f(x(a),a)=M(a)，则随着a的变化M(a)也变动。对M(a)关于a求导数得：

因为对每一个a，最优解是x(a)。由函数f(x,a)在x取最小值的必要条件知从而上式变为：

即最小值M(a)关于参数a的变化率就等于函数f(x,a)关于a的变化率而与x无关。M(a)为曲线族y=f(x,a)的包络，故称上等式为包络定理。
对含参数a的带约束条件极值问题：

minf(x₁，…，x_n,a)

s. t.g(x₁，…，x_n,a)=0

令拉格朗日函数L=f(x₁，…，x_n,a)-λg(x₁，…，x_n,a)，对每一个a，上问题的解为x₁(a)，…，x_n(a)，记f(x₁(a)，…，x_n(a),a)=M(a)。类似于上面的做法得：

这也称包络定理。